Toán 12 Hàm số

1/ PTHĐGĐ: $\dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{x-m}2$
$\iff 2x - 2 = (x-m)(x+1)$
$\iff x^2 + (-m - 1)x - m + 2 = 0$
$\Delta = (m+1)^2 - 4(-m + 2) = m^2 + 6m - 7 > 0 \iff m < -7 \vee m > 1$
Gọi $A(x_1, \dfrac12 x_1 - \dfrac12 m)$ và $B(x_2, \dfrac12 x_2 - \dfrac12 m)$ và $D(m, 0)$

TH1: $D$ là trung điểm $AB$
Khi đó $x_1 + x_2 = 2m$ và $x_1 + x_2 - m = 0$, suy ra $m = 0$ (loại)

TH2: $B$ là trung điểm $AD$
Khi đó $x_1 + m = 2x_2$ và $\dfrac12 x_1 - \dfrac12 m = x_2 - m$
$\iff x_1 - 2x_2 = -m$
Kết hợp $x_1 + x_2 = m + 1$ suy ra $x_1 = \dfrac13 m + \dfrac{2}3$ và $x_2 = \dfrac{2}3 m + \dfrac{1}3$
Kết hợp $x_1x_2 = -m + 2$ suy ra $(\dfrac13 m + \dfrac{2}3)(\dfrac{2}3 m + \dfrac{1}3) = -m + 2$
Suy ra $m = 1$ (L) hoặc $m = -8$ (N)$

TH3: $A$ là trung điểm $BD$
Do vai trò của $A$ và $B$ là như nhau nên sẽ ra giống TH2

Vậy $m = -8$ nên chọn A

2. PTHDGD: $\dfrac{x-2}{x-1} = -x + m$
$\iff x - 2 = (x-1)(-x + m)$
$\iff x^2 - mx + m - 2 = 0$
$\Delta = m^2 - 4(m-2) = m^2 - 4m + 8 > 0$
$A(x_1, -x_1 + m)$, $B(x_2, -x_2 + m)$
$AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + [-x_1 + m - (-x_2 + m)]^2} = \sqrt{2(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{2(x_1 + x_2)^2 - 8x_1x_2} = \sqrt{2m^2 - 8(m-2)} = \sqrt{2(m - 2)^2 + 8} \geqslant 2\sqrt{2}$
Dấu '=' xảy ra khi $m = 2$, chọn C