1) a ) Cho x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^3+y^3
b ) TÌm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Goi x,y là 2 cạnh góc vuông ,z là cạnh huyền của tam giác đó ( [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex])
Ta có [tex]x^2 + y^2 = y^2[/tex] (1)
[tex]xy = 2(x+y+z)[/tex] (2)
Từ 1 ta có
[tex]z^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x+y)^2 - 4(x+y+z)[/tex]
hay [tex](x+y)^2 - 4(x+y) - 4z = z^2[/tex]
[tex](x+y)^2 - 4(x+y) = z^2 + 4z[/tex]
[tex](x+y)^2 - 4(x+y) + 4 = z^2 + 4z + 4[/tex]
[tex](x+y-2)^2 = (z+2)^2[/tex]
[tex]x+y -2 = z+2[/tex] ([tex]x+y \geq 2[/tex])
[tex]z =x+y-4[/tex]
Thay z = x + y - 4 vào 2 ta được
[tex]xy = 2(x+y+x+y-4)[/tex]
[tex]xy = 2(2x + 2y -4)[/tex]
[tex]xy = 4x + 4y - 8[/tex]
[tex]xy - 4x - 4y = -8[/tex]
[tex]xy - 4x - 4y + 16 = 8[/tex]
[tex](x-4)(y-4) = 8[/tex]
Vì [tex] x\leq y[/tex]
nên [tex] x-4 \leq y-4 [/tex]
Nên
Hoặc x-4 = 1 và y - 4 = 8
Suy ra x = 5 , y = 12 nên z = 13
Hoặc x-4 = 2 và y - 4 = 4
Suy ra x = 6 , y = 8 nên z = 10
Vậy các tam giác cần tìm có độ dài 3 cạnh là
( 5,12,13) ; (6,8,10)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
