Toán 8 Cho a thuộc Z và P(x)=x^2012+(2013+a)x+a-2011 là đa thức có nghiệm nguyên x0 . CMR: x0 là số chẵn.

Dùng phản chứng


Giả sử [tex]x[/tex] lẻ
+ TH1: a chẵn
=> [tex]x^{2012}[/tex] lẻ
=> 2013+a lẻ => (2013+a)x chẵn
và a-2011 lẻ
=> P(x)= lẻ + chẵn + lẻ
=> P(x)= chẵn
mà P(x) có nghiệm = [tex]x_{0} [/tex] lẻ
=> vô lí
+ TH2: a lẻ
=>[tex]x^{2012}[/tex] lẻ
=> 2013+a chẵn =>(2013+a)x lẻ
và a-2011 chẵn
=> P(x)= lẻ + lẻ + chẵn
=> P(x)= chẵn
mà P(x) có nghiệm = [tex]x_{0} [/tex] lẻ
=> vô lí

Vậy [tex]x_{0}[/tex] chẵn

TH1: a lẻ => (2013+a) và a-2011 chẵn
=>(2013+a)x+a-2011 chẵn
Nếu x lẻ => $x^{2012}$ lẻ
=>$x^{2012}+(2013+a)x+a-2011$ lẻ
P(x)=0 mà 0 là số chẵn
=> x lẻ vô nghiệm => x chẵn
TH2: a chẵn => (2013+a) lẻ a-2011 lẻ
Nếu x lẻ => $x^{2012}+(2013+a)x+a-2011$ lẻ
=> P(x)=0 không thể có nghiệm lẻ
=> x là số chẵn