Toán 9 Giải hệ PT

ankhongu · 30 Tháng sáu 2019

Giải hệ PT :
[tex]4x^{2} = y + \frac{3}{y}[/tex]
[tex]4y^{2} = x + \frac{3}{x}[/tex]

Nhờ mọi người giúp với ạ, em mới tìm được x = y = 1 thôi, còn trường hợp còn lại em vẫn đang không biết phải giải ra thế nào (Thế nên mong mọi người làm càng chi tiết càng tốt ạ)

Lành Cao Phong · 30 Tháng sáu 2019

ĐKXĐ: [tex]x\neq 0; y\neq 0.[/tex]

Vì [TEX]4x^2>0\forall x \Rightarrow y+\frac{3}{y}>0 \Rightarrow y>0[/TEX].
Tương tự, [TEX]x>0[/TEX].
[TEX]\Rightarrow xy>0[/TEX]

[tex]\left\{\begin{matrix} 4x^2=y+\frac{3}{y}(1)\\4y^2=x+\frac{3}{x}(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Lấy [TEX](1)\times y[/TEX], ta có: [TEX]4x^2y=y^2+3 (3)[/TEX]
Lấy [TEX](2)\times x[/TEX], ta có: [TEX]4y^2x=x^2+3 (4)[/TEX]
Lấy [TEX](3)-(4)[/TEX], ta có: [TEX]4x^2y-4xy^2=y^2-x^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2y-4xy^2+x^2-y^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4xy(x-y)+(x+y)(x-y)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x+y+4xy)=0[/TEX]
mà [TEX]x>0; y>0; xy>0[/TEX] (Chứng minh ở trên)
[TEX]\Rightarrow x-y=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y[/TEX]
Thay [TEX]x=y[/TEX] vào (3), ta có:
[TEX]4x^3=x^2+3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^3-x^2-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(4x^2+3x+3)=0[/TEX]
mà [TEX]4x^2+3x+3>0 \forall x>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=1.[/TEX]
Tương tự, [TEX]y=1[/TEX].
Vậy hệ phương trình có nghiệm [TEX]x=1[/TEX] và [TEX]y=1[/TEX].

Giúp mình · 30 Tháng sáu 2019

Lành Cao Phong said:
ĐKXĐ: [tex]x\neq 0; y\neq 0.[/tex]

Vì [TEX]4x^2>0\forall x \Rightarrow y+\frac{3}{y}>0 \Rightarrow y>0[/TEX].
Tương tự, [TEX]x>0[/TEX].
[TEX]\Rightarrow xy>0[/TEX]

[tex]\left\{\begin{matrix} 4x^2=y+\frac{3}{y}(1)\\4y^2=x+\frac{3}{x}(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Lấy [TEX](1)\times y[/TEX], ta có: [TEX]4x^2y=y^2+3 (3)[/TEX]
Lấy [TEX](2)\times x[/TEX], ta có: [TEX]4y^2x=x^2+3 (4)[/TEX]
Lấy [TEX](3)-(4)[/TEX], ta có: [TEX]4x^2y-4xy^2=y^2-x^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2y-4xy^2+x^2-y^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4xy(x-y)+(x+y)(x-y)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x+y+4xy)=0[/TEX]
mà [TEX]x>0; y>0; xy>0[/TEX] (Chứng minh ở trên)
[TEX]\Rightarrow x-y=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y[/TEX]
Thay [TEX]x=y[/TEX] vào (3), ta có:
[TEX]4x^3=x^2+3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^3-x^2-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(4x^2+3x+3)=0[/TEX]
mà [TEX]4x^2+3x+3>0 \forall x>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=1.[/TEX]
Tương tự, [TEX]y=1[/TEX].
Vậy hệ phương trình có nghiệm [TEX]x=1[/TEX] và [TEX]y=1[/TEX].

có 2 trường hợp mà (x+y+4xy)=0 nữa

Lành Cao Phong · 30 Tháng sáu 2019

Giúp mình said:
có 2 trường hợp mà (x+y+4xy)=0 nữa

Ngay dưới dòng [TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x+y+4xy)=0[/TEX] thì mình đã nêu là [TEX]x>0[/TEX], [TEX]y>0[/TEX] và cả [TEX]xy>0[/TEX] dựa theo phần chứng mình ở đầu. Do đó [TEX]x+y+4xy[/TEX] sẽ luôn lớn hơn [TEX]0[/TEX]. Vì vậy nên mình không xét trường hợp đó nữa.

Chu Thái Anh · 30 Tháng sáu 2019

Giúp mình said:
có 2 trường hợp mà (x+y+4xy)=0 nữa

let me cm cho

[tex]4x^{2}=y+\frac{y}{3}=\frac{y^{2}+3}{y}\geq 0[/tex]
mà [tex]y^{2}+3>0[/tex] và y khác 0
nên y[tex]>0[/tex]
cmtt x >0
XONG

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 9 Giải hệ PT

ankhongu

Học sinh tiến bộ

Lành Cao Phong

Học sinh mới

Giúp mình

Banned

Lành Cao Phong

Học sinh mới

Chu Thái Anh

Học sinh