Toán 9 BĐT vào 10

Giờ mới nghĩ ra @@
Ta có:
[tex](a+b+c)(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}})=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\sum \frac{b+c}{\sqrt{a^2+1}}[/tex]
Dùng Bunhia dạng này: [tex]x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}[/tex] cho 2 cái sau:
Cái thứ nhất:
[tex]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \sqrt{ \frac{3a^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{3b^2}{ a^2+2b^2+c^2}+\frac{3c^2}{ a^2+b^2+2c^2}} \\Do (a^2+b^2+c^2=1)[/tex]
Mà có:
[tex]\frac{3a^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq 3.\frac{1}{4}(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2})[/tex] \
Như Vậy
[tex]\sqrt{ \frac{3a^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{3b^2}{ a^2+2b^2+c^2}+\frac{3c^2}{ a^2+b^2+2c^2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Cái thứ hai:
[tex]\sum \frac{b+c}{\sqrt{a^2+1}}\leq \sqrt{\sum \frac{3(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}[/tex]
Theo Schwarz ngược dấu có:
[tex]\frac{3(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq 3(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})[/tex]
Áp dụng ta được
[tex]\sqrt{\sum \frac{3(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}\leq 3[/tex]
Như vậy ta có thể kết luận
[tex]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\sum \frac{b+c}{\sqrt{a^2+1}}\leq 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}[/tex]
hay
[tex](a+b+c)(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}})\leq \frac{9}{2}[/tex]
Từ đây ta có thể suy ra:
Cái đầu bài :V