Toán 9 Bất đẳng thức

- Cái thứ 2 thì em chưa biết, nhưng cái đầu tiên nhân cả 2 vế với 2 xong chuyển vế thành HĐT là ra thôi ạ =)

[tex]a. BDT: x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx[/tex]

b. Đặt [tex]a=\frac{1}{x}\\b=\frac{1}{y}\\c=\frac{1}{z}\\\rightarrow xy+yz+zx=6[/tex]
[tex]\sum \frac{bc}{a^{3}\left ( c + 2b \right )}=\sum \frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}(\frac{1}{z}+\frac{2}{y})}=\sum \frac{x^3}{yz(\frac{1}{z}+\frac{2}{y})}=\sum \frac{x^3}{y+2z}=\sum \frac{x^4}{xy+2yz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)}(Schwarz)\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(xy+yz+zx)}=2[/tex]

amsterdamIMO said:

a) Cho x, y, z là các số thực khác 0. Chứng minh [tex]\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} \geq \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}.[/tex]
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 6abc. Chứng minh
[tex]\frac{bc}{a^{3}\left ( c + 2b \right )} + \frac{ca}{b^{3}\left ( a + 2c \right )} + \frac{ab}{c^{3}\left ( b + 2a \right )} \geq 2.[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1,Đặt 1/x=a; 1/y=b;1/z=c
Bđt trở thành a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac
<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ac)
<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0(Luôn đúng)
2,
Áp dụng bđt Cô-si
[tex]\frac{bc}{a^{3}\left ( c + 2b \right )}+\frac{\sqrt{2}(c+2b)}{9bc}+\frac{2}{3}\geq \frac{\sqrt{2}}{a}[/tex]
CMTT:
<=>[tex]\frac{bc}{a^{3}\left ( c + 2b \right )} + \frac{ca}{b^{3}\left ( a + 2c \right )} + \frac{ab}{c^{3}\left ( b + 2a \right )}+\frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+2\geq \sqrt{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
<=>[tex]\frac{bc}{a^{3}\left ( c + 2b \right )} + \frac{ca}{b^{3}\left ( a + 2c \right )} + \frac{ab}{c^{3}\left ( b + 2a \right )}\geq \frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-2[/tex](1)
Mặt khác a+b+c=6abc=>1/ab+1/bc+1/ca=6
Áp dụng bdt phụ (1/a+1/b+1/c)^2>=3(1/a+1/b+1/c)(Tự cm= biến đổi tương đương)=18
=>1/a+1/b+1/c=3 căn 2(2)
Thay (2) vào (1) =>dpcm
Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/ căn 2