Toán 11 Dãy số

1) [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2019}(2U_n+\frac{2019}{n+2}-\frac{2}{n+1})<=>U_{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{2019}(U_n-\frac{1}{n+1})[/tex]
Đặt [TEX]U_n-\frac{1}{n+1}=V_n[/TEX]=>[tex]V_1=\frac{3}{2}[/tex]
Được CSN của Vn có công bội 2/2019 => Vn=[tex]\frac{3}{2}.(\frac{2}{2019})^{n-1}=>U_n=\frac{3}{2}.(\frac{2}{2019})^{n-1}+\frac{1}{n+1}[/tex]
Vậy lim Un=0
2) Có thể thấy các tam giác đều mới được tạo ra có độ dài cạnh bằng 1/2 tam giác đều cũ
Ta có: [tex]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=> R=\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex] với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đầu tiên
Và dựa vào công thức trên có thể thấy cứ tam giác sau thì R cũng = 1/2 tam giác trước => Diện tích giảm 1/4 so với đường tròn trước
=> Tổng các diện tích là 1 tổng CSN công bội 1/4
Vậy ta có: [tex]S_n=\frac{S_1(1-(\frac{1}{4})^{n-1})}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S_1(1-(\frac{1}{4})^{n-1})=>S=\frac{4}{3}S_1(1-(\frac{1}{4})^{2018})[/tex]
Với [tex]S_1=\pi R^2=\pi \frac{a^2}{3}[/tex]
Thay lên là được

Đặt xong thay vào: [tex]V_{n+1}=\frac{2}{2019}V_n[/tex] thì đó rõ ràng là CSN rồi