Toán 9 Bất Đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương
3= $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $ [tex] <=> 1\geq\sqrt[3]{abc}[/tex]
biểu thức cần cm [tex]\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3.\sqrt[2]{1}=3[/tex] (đpcm)

[tex]VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \frac{18}{ab+bc+ca+a+b+c}\geq 3[/tex]

À có cách này
Ta có:
[tex]A= \frac{a}{√b} + \frac{b}{√c} + \frac{c}{√a}[/tex]
[tex] \frac{1}{2}A= \frac{a}{2√b} + \frac{b}{2√c} + \frac{c}{2√a}[/tex]
[tex] \frac{1}{2}A= \frac{a^2}{2a√b} + \frac{b^2}{2b√c } + \frac{c^2}{2c√a}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]2√b\leq b+1 \Leftrightarrow 2a√b\leq a(b+1) = ab+a[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2}{2a√b}\geq \frac{a^2}{ab+a}[/tex] (1)
Chứng minh tương tự
[tex]\Rightarrow \frac{b^2}{2b√c}\geq \frac{b^2}{bc+b}[/tex] (2)
[tex]\Rightarrow \frac{c^2}{2c√a}\geq \frac{c^2}{ca+c}[/tex] (3)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
[tex]\frac{1}{2}A\geq \frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{bc+b}+\frac{c^2}{ca+c}[/tex]
Áp dụng bđt Svacxo
[tex]\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{bc+b}+\frac{c^2}{ca+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} = \frac{9}{ab+bc+ca+3}[/tex] (4)
Áp dụng bđt xy+yz+xz [tex]\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{9}{3}=3[/tex] (5)
Từ (4) và (5)
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2}.A\geq \frac{9}{3+3}[/tex]
[tex]\Rightarrow A\geq 3[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Kinami Syrex said:

À có cách này
Ta có:
[tex]A= \frac{a}{√b} + \frac{b}{√c} + \frac{c}{√a}[/tex]
[tex] \frac{1}{2}A= \frac{a}{2√b} + \frac{b}{2√c} + \frac{c}{2√a}[/tex]
[tex] \frac{1}{2}A= \frac{a^2}{2a√b} + \frac{b^2}{2b√c } + \frac{c^2}{2c√a}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]2√b\leq b+1 \Leftrightarrow 2a√b\leq a(b+1) = ab+a[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2}{2a√b}\geq \frac{a^2}{ab+a}[/tex] (1)
Chứng minh tương tự
[tex]\Rightarrow \frac{b^2}{2b√c}\geq \frac{b^2}{bc+b}[/tex] (2)
[tex]\Rightarrow \frac{c^2}{2c√a}\geq \frac{c^2}{ca+c}[/tex] (3)
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
[tex]\frac{1}{2}A\geq \frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{bc+b}+\frac{c^2}{ca+c}[/tex]
Áp dụng bđt Svacxo
[tex]\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{bc+b}+\frac{c^2}{ca+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} = \frac{9}{ab+bc+ca+3}[/tex] (4)
Áp dụng bđt xy+yz+xz [tex]\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{9}{3}=3[/tex] (5)
Từ (4) và (5)
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2}.A\geq \frac{9}{3+3}[/tex]
[tex]\Rightarrow A\geq 3[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

khác gì cách của người ta đã làm ở trên đâu ?
nani ?

bánh tráng trộn said:

khác gì cách của người ta đã làm ở trên đâu ?
nani ?

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

mình ghi đầy đủ ra th
làm j gắt vậy )