Toán 9 Bất đẳng thức

;;;^;;; Gomennn mình biết làm có vài bài thôi
1.
Ta có BĐT: $xy + yz + xz \leq x^2 + y^2 + z^2$ => $xy + yz + xz \leq \frac{x + y + z)^2}{3} = 3$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:
[tex]A \geq \frac{(x + y + z)^2}{x + y + z + xy + yz + xz} = \frac{9}{3 + xy + yz + xz} \geq \frac{9}{3 + 3} = \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
3.
[tex]\frac{\sqrt{yz}}{x + 2\sqrt{yz}} = \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}} + 2}[/tex]
Vì $\sqrt{yz} \leq \frac{y + z}{2}$ => [tex]\frac{x}{\sqrt{yz}} \geq \frac{x}{\frac{y + z}{2}} = \frac{2x}{y + z}[/tex] => [tex]\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}} + 2} \leq \frac{1}{\frac{2x}{y + x} + 2} = \frac{y + z}{2(x + y + z)}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> y = z
Mấy phần sau tương tự => Max = 1
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
4.
Ta chứng minh:
[tex]\frac{1}{4 - a} \geq \frac{a^2}{16} + \frac{1}{4} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{4 - a} - \frac{a^2}{16} \geq \frac{1}{4} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{16 - a^2(4 - a) - 4(4 - a)}{16(4 - a)} \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a^3 - 4a^2 + 4a}{16(4 - a)} \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a(a - 2)^2}{16(4 - a)} \geq 0[/tex] (Đúng vì 0 < a < 4)
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
Mấy cái kia tương tự, sau đó cộng lại theo vế thì được biểu thức ban đầu

You Know said:

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

You Know said:

Mình cần bài 0, 6, 7,5

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài 0:
[tex]xy+yz+zx=3xyz\Leftrightarrow 3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3[/tex]
[tex]\sum \frac{x^3}{x^2+z}=\sum \left ( x-\frac{xz}{x^2+z} \right )\geq \sum \left ( x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}} \right )=\sum \left ( x-\frac{\sqrt{z}}{2} \right )\geq \sum \left ( x-\frac{z+1}{4} \right )=\frac{3}{4}\sum x-\frac{3}{4} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]

Bài 5:
[tex]3\geq \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}\Rightarrow \sum a\geq 3[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{1+b^2}+\frac{1}{2}\sum ab=\sum \left ( a-\frac{ab^2}{1+b^2} \right )+\frac{1}{2}\sum ab\geq \sum \left ( a-\frac{ab^2}{2b} \right )+\frac{1}{2}\sum ab=\sum \left ( a-\frac{ab}{2} \right )+\frac{1}{2}\sum ab=\sum a\geq 3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

Bài 6:
Chứng minh được [tex](\sum a)^2\geq 3\sum ab=9\Rightarrow \sum a\geq 3[/tex]
[tex]P=\sum \frac{19a+3}{1+b^2}=\sum \left ( 19a+3-\frac{19ab^2+3b^2}{1+b^2} \right )\geq \sum \left ( 19a+3-\frac{19ab^2+3b^2}{2b} \right )=\sum \left ( 19a+3-\frac{19ab+3b}{2} \right )=\frac{35}{2}\sum a-\frac{19}{2}\sum ab+9\geq \frac{35}{2}.3-\frac{19}{2}.3+9=33[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]