Toán 8 đề thi học sinh giỏi toán 8

1) a)Ta có: [tex]AC//EB[/tex] ( cùng vuông góc AC)
[tex]\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{CAI} \Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ICA (g-g) \Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CIA}[/tex]
Mà [tex]\widehat{CIA}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex] (phụ nhau)
[tex]\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{CAI}=90^{\circ}[/tex]
[tex]\widehat{EAI}=\widehat{BAE}+\widehat{CAI}+\widehat{BAC}=180^{\circ}[/tex]
Suy ra E, A, I thẳng hàng
b) BF, CK lần lượt là phân giác của [tex]\widehat{EBA}, \widehat{ACI}[/tex] ( ABEF, ACIK là hình vuông )
[tex]\Rightarrow \widehat{FBK}=\widehat{CKB}=45^{\circ}[/tex]
[tex]\Rightarrow BF//KC[/tex] (1)
[tex]AB=AF , AC=AK \Rightarrow BC=FK[/tex] (pi ta go hai tam giác vuông ABC và AFK) (2)
Từ (1), (2) suy ra đpcm
c) [tex]\Delta KFC= \Delta CBK(c-c-c) \Rightarrow \widehat{KFA}=\widehat{CBA}[/tex]
[tex]\widehat{CBA}=\widehat{CAH}(\Delta AHB\sim \Delta CHA)[/tex]
[tex]\widehat{CAH}=\widehat{QAF}[/tex] (đối đỉnh)
[tex]\Rightarrow \widehat{KFA}=\widehat{QAF}[/tex] hay tam giác QAF cân tại Q
Suy ra AQ =QF
CM tương tự tam giác QAK cân tại Q, AQ=KQ
suy ra Q là trung điểm của KF
d) Gọi G là giao của AH và EF, cm G, K, I thẳng hàng là xong