Toán Toán 8

15) a) [tex]BE\perp AC;DF\perp AC \Rightarrow BE//DF[/tex]
Gọi O là giao hai đường chéo hình bình hành ta cm đc:
[tex]\Delta BEO=\Delta DFO[/tex] (ch-gn) [tex]\Rightarrow BE=DF[/tex]
Vậy BEDF là hình bình hành ( Hai cạnh đối song song và bằng nhau )
b) Ta có [tex]AH\perp CH[/tex](gt)
Mà [tex]CD//AH (CD//AB)[/tex]
[tex]\Rightarrow CD\perp CH[/tex] hay [tex]\angle HCD=90^{\circ}[/tex]
Tương tự, cm đc [tex]BC\perp CK[/tex] hay [tex]\angle BCK=90^{\circ}[/tex]
[tex]\angle HCD-\angle BCD=\angle BCK-\angle BCD \Rightarrow \angle HCB=\angle KCD[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta CHB\sim \Delta CKD (g-g) \Rightarrow \frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD} \Rightarrow CH.CD=CB.CK[/tex] (đpcm)
c)[tex]\angle BCE=\angle DAF[/tex] (slt)
[tex]\Rightarrow \Delta BEC=\Delta DFA[/tex] (ch-gn)
[tex]\Rightarrow AF=CE[/tex]
Ta có: [tex]\Delta ABE\sim \Delta ACH (g-g)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AB}{AC}= \frac{AE}{AH} \Rightarrow AB.AH=AC.AE[/tex] (1)
Tương tự, [tex]\Delta ADF\sim \Delta ACK (g-g) \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AK} \Rightarrow AD.AK=AC.AF[/tex] (2)
Từ (1), (2) suy ra
[tex]AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF= AC(AE+AF)=AC(AE+CE)= AC.AC=AC^2[/tex] (AF=CE)

16) a) Áp dụng Pi-ta-go
[tex]BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5[/tex] (cm)
b) [tex]\Delta HBA[/tex] vuông tại H và [tex]\Delta HAC[/tex] vuông tại H có:
[tex]\angle HBA=\angle HAC[/tex] (cùng phụ với [tex]\angle HAB[/tex] )
[tex]\Rightarrow \Delta HBA\sim \Delta HAC (g-g)[/tex]
c) Từ b suy ra tỉ số [tex]\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC} \Rightarrow HA^2=HB.HC[/tex]
d) Áp dụng tính chất đường phân giác có tỉ số
[tex]\frac{BD}{AB}= \frac{DC}{AC}= \frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{5}{7} \Rightarrow \frac{BD}{AB}=\frac{5}{7} \Rightarrow BD=\frac{15}{7} DC=BC-BD=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}[/tex]
e) [tex]\Delta AHC\sim \Delta BAC (g-g) \Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow AH.BC=AB.BC[/tex]
[tex]\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC} \Rightarrow AH^2=\frac{AB^2.AC^2}{BC^2}[/tex]
[tex]= \frac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2} \Rightarrow \frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}[/tex]