Toán [Lớp 11] Tích phân

Đặt $u=\pi-x$ thì $\frac{du}{dx}=-1$. Khi đó $\int_{0}^{\pi} f(\pi-x)dx= -\int_{\pi}^0 f(u)du = \int_0^{\pi} f(x)dx$. Ta suy ra $$2\int_0^{\pi} f(x) dx = \int_0^{\pi} (f(x)+f(\pi-x))dx= \int_0^{\pi} \sqrt{2(1+\sin 2x)}dx.$$
Chú ý $\sin 2x= 2\sin x \cos x$ nên $\sqrt{2(1+\sin 2x)}= \sqrt 2|\cos x+ \sin x|$. Vì $|\cos x+ \sin x|$ bằng $\cos x + \sin x$ với $x \in [0,3\pi/4]$ và bằng $-\cos x-\sin x$ với $x \in [3\pi/4,\pi]$ nên
$$\int_0^{\pi}\sqrt{2(1+\sin 2x)}dx= \sqrt 2 \int_0^{3\pi/4} (\cos x +\sin x) - \sqrt2 \int_{3\pi/4}^{\pi}(\cos x+ \sin x)=4.$$