[toán 10] chứng mình bất đẳng thức

pebaupro@gmail.com said:

Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki và AM-GM ta có:
$\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\dfrac{81}{(x+y+z)^{2}}}$
$=\sqrt{\left [ (x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{(x+y+z)^{2}} \right ]+\dfrac{80}{(x+y+z)^{2}}}\geq \sqrt{82}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$