Chứng minh bất dẳng thức sau

yourname2001 said:

Cho a, b, c >0 và a+b+c=3. Tìm max P = [tex]\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+2} +\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}+2} + \dfrac{1}{c^{2}+a^{2}+2}[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có hằng đẳng thức: $\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 2}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}}$
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
\[\sum {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\[VT \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} } \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right) + \left( {{b^2} + {c^2} + 2} \right) + \left( {{c^2} + {a^2} + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} } \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 6}}\]
Ta lại có:
\[{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} } \right)^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\sum {\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} } \]
\[ \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\sum {\left( {{a^2} + bc} \right)} = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9\]
\[ \Longrightarrow VT \ge \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 6}} = \frac{3}{2}\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$