Toán 9 Tìm tất cả số nguyên

[Nguyễn Cao Trường]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả số nguyên p sao cho [tex]\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}[/tex] là số hữu tỉ.

 

[TranPhuong27]

Để [tex]\sqrt{p^4+p^3+p^2+p+1}[/tex] là số hữu tỉ thì [tex]p^4+p^3+p^2+p+1[/tex] là bình phương của một số hữu tỉ.

Đặt [tex]p^4+p^3+p^2+p+1=a^2 ( a \in Q)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=4a^2[/tex]

Có [tex](2p^2+p)^2<4p^4+4p^3+4p^2+4p+4<(2p^2+p+2)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow 4(p^4+p^3+p^2+p+1)=(2p^2+p+1)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4a^2=(2p^2+p+1)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (2p^2+p+1)^2-4(p^4+p^3+p^2+p+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p^2-2p-3=0 \Leftrightarrow (p-3)(p+1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{bmatrix} p=-1 & \\p=3 & \end{bmatrix}[/tex]