Toán 10 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm min của [tex]K=\sum \frac{1}{a^3(b+c)}[/tex]

[Lê Linh 1310]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y là các số thực thõa mãn x+y <= 1. Tìm gtnn của bt
P= ( x^4 + y^4 +1) ( 1/x^4 + 1/y^4 +1)

2. Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. tìm gtnn của bt
K = 1/ a^3(b+c) + 1/ b^3( a+c) + 1/ c^3 ( b+a )

 

[Ann Lee]

2. Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. tìm gtnn của bt
K = 1/ a^3(b+c) + 1/ b^3( a+c) + 1/ c^3 ( b+a )

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
[tex]K=\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum bc)^2}{2\sum ab}=\frac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\frac{\sum ab}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

1. Cho x,y là các số thực thõa mãn x+y <= 1. Tìm gtnn của bt
P= ( x^4 + y^4 +1) ( 1/x^4 + 1/y^4 +1)

[tex]1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}[/tex]
[tex]P=(x^4+y^4+1)\left ( \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+1 \right )\\=1+\frac{x^4}{y^4}+x^4+\frac{y^4}{x^4}+1+y^4+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+1 \\=3+\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )+(x^4+y^4)+\left ( \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4} \right )\\\geq 3+2\sqrt{\frac{x^4}{y^4}.\frac{y^4}{x^4}}+2\sqrt{x^4y^4}+2\sqrt{ \frac{1}{x^4}.\frac{1}{y^4}}\\=3+2+2x^2y^2+\frac{2}{x^2y^2}\\=5+512x^2y^2+\frac{2}{x^2y^2}-510x^2y^2\\\geq 5+2\sqrt{512x^2y^2.\frac{2}{x^2y^2}}-510.\frac{1}{4^2}\\=\frac{297}{8}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

 

[Hii Hii]

2. Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. tìm gtnn của bt
K = 1/ a^3(b+c) + 1/ b^3( a+c) + 1/ c^3 ( b+a )

Câu 2 có thể đặt : (a;b;c)=(1/x ; 1/y;1/z)
xyz=1 => K = x/(y+z) +y/(x+z)+z/(y+x) >= 3/2 ( Nesbit)
P/s: klq nhưng làm lài này khiến tui nhớ đến một người ... :'(