D
duynhan1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trong nhiều năm gần đây, bài toán khoảng cách hay được ra trong câu IV đề thi đại học, hôm nay mình viết bài viết này để chia sẻ 1 số kinh nghiệm giải bài toán này.
Vấn đề 1: Xác định khoảng cách từ chân đường vuông góc đến 1 mặt bên.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài giải:
Hướng giải:
- Kẻ AM vuông góc BC (M thuộc BC).
- Kẻ AH vuông góc SM (H thuộc SM).
Khi đó AH chính là khoảng cách cần tìm.
Vấn đề 2: Xác định khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt bên.
Hướng làm: Quy về vấn đề 1, chu dù nó ở đâu đi nữa.
________________________________________
Sử dụng định lý sau (không cần chứng minh).
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M thì ta có:
$d(A;(P)) = \frac{AM}{BM} . d(B;(P))$
________________________________________
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SBC).
Bài giải:
- AG cắt BC tại trung điểm M của BC.
- $GM = \frac13 AM \Rightarrow d(G;(SBC)) = \frac13 d(A;(SBC))$
- Quy về vấn đề 1.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc (ABC). Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD).
Bài giải:
- SG cắt AB tại trung điểm M của AB.
- $GS = \frac23 MS \Rightarrow d(G;(SCD) ) = \frac23 d( M; (SCD)) = \frac23 d(A;(SCD)) \text{(do AM//(SCD))}$
- Quy về vấn đề 1.
2 ví dụ là đủ rồi nhỉ..
Vấn đề 3: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng chứa chân đường vuông góc
Khi mà mặt phẳng chứa chân đường vuông góc thì ta không có cách nào đưa về vấn đề 1 được, khi đó ta dùng THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
Bài giải:
Ta có: $d(B;(ACM)) = \frac{3V_{BACM}}{S_{\Delta ACM}}$.
- Tính $V_{SACM}$:
Áp dụng CT tỉ số thể tích ta có: $$\frac{V_{SACM}}{V_{SABC}} = \frac12 \Rightarrow V_{BACM} = \frac12 V_{S.ABC} = \frac12 . \frac13. \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$$
- Tính $S_{ACM}$:
+ Ta có AC rồi.
+ Kẻ $MH \bot AC \ (H \in AC)$ ta cần tính MH.
+ Kẻ $MK \bot AB \ (K \in AB)$, khi đó K là trung điểm AB
+ $KH = AK . \sin 60 = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
+ $MK = \frac12 SA= a$
+ $\Rightarrow MH = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$
Vậy là đã xong bài toán.
Các bạn thử lý giải vì sao lại kẻ $MK \bot AB$ nhé
(chú ý là ta chưa sử dụng giả thiết M là trung điểm nên cần liên hệ nó lại).
Vấn đề 1: Xác định khoảng cách từ chân đường vuông góc đến 1 mặt bên.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài giải:
Hướng giải:
- Kẻ AM vuông góc BC (M thuộc BC).
- Kẻ AH vuông góc SM (H thuộc SM).
Khi đó AH chính là khoảng cách cần tìm.
Vấn đề 2: Xác định khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt bên.
Hướng làm: Quy về vấn đề 1, chu dù nó ở đâu đi nữa.
________________________________________
Sử dụng định lý sau (không cần chứng minh).
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M thì ta có:
$d(A;(P)) = \frac{AM}{BM} . d(B;(P))$
________________________________________
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SBC).
Bài giải:
- AG cắt BC tại trung điểm M của BC.
- $GM = \frac13 AM \Rightarrow d(G;(SBC)) = \frac13 d(A;(SBC))$
- Quy về vấn đề 1.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc (ABC). Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD).
Bài giải:
- SG cắt AB tại trung điểm M của AB.
- $GS = \frac23 MS \Rightarrow d(G;(SCD) ) = \frac23 d( M; (SCD)) = \frac23 d(A;(SCD)) \text{(do AM//(SCD))}$
- Quy về vấn đề 1.
2 ví dụ là đủ rồi nhỉ..
Vấn đề 3: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng chứa chân đường vuông góc
Khi mà mặt phẳng chứa chân đường vuông góc thì ta không có cách nào đưa về vấn đề 1 được, khi đó ta dùng THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
Bài giải:
Ta có: $d(B;(ACM)) = \frac{3V_{BACM}}{S_{\Delta ACM}}$.
- Tính $V_{SACM}$:
Áp dụng CT tỉ số thể tích ta có: $$\frac{V_{SACM}}{V_{SABC}} = \frac12 \Rightarrow V_{BACM} = \frac12 V_{S.ABC} = \frac12 . \frac13. \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$$
- Tính $S_{ACM}$:
+ Ta có AC rồi.
+ Kẻ $MH \bot AC \ (H \in AC)$ ta cần tính MH.
+ Kẻ $MK \bot AB \ (K \in AB)$, khi đó K là trung điểm AB
+ $KH = AK . \sin 60 = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
+ $MK = \frac12 SA= a$
+ $\Rightarrow MH = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$
Vậy là đã xong bài toán.
Các bạn thử lý giải vì sao lại kẻ $MK \bot AB$ nhé
(chú ý là ta chưa sử dụng giả thiết M là trung điểm nên cần liên hệ nó lại).
Last edited by a moderator:
