HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

Vấn đề về các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.

Thảo luận trong 'Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán' bắt đầu bởi duynhan1, 25 Tháng sáu 2012.

Lượt xem: 45,914

  1. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Trong nhiều năm gần đây, bài toán khoảng cách hay được ra trong câu IV đề thi đại học, hôm nay mình viết bài viết này để chia sẻ 1 số kinh nghiệm giải bài toán này.

    Vấn đề 1: Xác định khoảng cách từ chân đường vuông góc đến 1 mặt bên.
    Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ A đến (SBC).
    Bài giải:
    Hướng giải:
    - Kẻ AM vuông góc BC (M thuộc BC).

    - Kẻ AH vuông góc SM (H thuộc SM).
    Khi đó AH chính là khoảng cách cần tìm.

    Vấn đề 2: Xác định khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt bên.
    Hướng làm: Quy về vấn đề 1, chu dù nó ở đâu đi nữa.

    ________________________________________

    Sử dụng định lý sau (không cần chứng minh).
    Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M thì ta có:
    $d(A;(P)) = \frac{AM}{BM} . d(B;(P))$
    ________________________________________


    Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông (ABC). Biết SA=AB=AC=BC=a, tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SBC).
    Bài giải:
    - AG cắt BC tại trung điểm M của BC.
    - $GM = \frac13 AM \Rightarrow d(G;(SBC)) = \frac13 d(A;(SBC))$
    - Quy về vấn đề 1.

    Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc (ABC). Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SCD).
    Bài giải:
    - SG cắt AB tại trung điểm M của AB.
    - $GS = \frac23 MS \Rightarrow d(G;(SCD) ) = \frac23 d( M; (SCD)) = \frac23 d(A;(SCD)) \text{(do AM//(SCD))}$
    - Quy về vấn đề 1.

    2 ví dụ là đủ rồi nhỉ..

    Vấn đề 3: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng chứa chân đường vuông góc
    Khi mà mặt phẳng chứa chân đường vuông góc thì ta không có cách nào đưa về vấn đề 1 được, khi đó ta dùng THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH

    Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
    Bài giải:
    Ta có: $d(B;(ACM)) = \frac{3V_{BACM}}{S_{\Delta ACM}}$.
    - Tính $V_{SACM}$:
    Áp dụng CT tỉ số thể tích ta có: $$\frac{V_{SACM}}{V_{SABC}} = \frac12 \Rightarrow V_{BACM} = \frac12 V_{S.ABC} = \frac12 . \frac13. \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$$
    - Tính $S_{ACM}$:
    + Ta có AC rồi.
    + Kẻ $MH \bot AC \ (H \in AC)$ ta cần tính MH.
    + Kẻ $MK \bot AB \ (K \in AB)$, khi đó K là trung điểm AB
    + $KH = AK . \sin 60 = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
    + $MK = \frac12 SA= a$
    + $\Rightarrow MH = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$
    Vậy là đã xong bài toán.
    Các bạn thử lý giải vì sao lại kẻ $MK \bot AB$ nhé :) (chú ý là ta chưa sử dụng giả thiết M là trung điểm nên cần liên hệ nó lại).
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng sáu 2012
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Vấn đề 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng vuông góc.
    Hướng làm: Tìm/tạo 1 mặt thẳng đi qua 1 trong 2 đường thẳng đó và vuông góc với đường thẳng còn lại...

    Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa BD và SC.
    Bài giải:
    Dễ nhận thấy $BD \bot (SAC)$.
    Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ $OH \bot SC \ (H \in SC)$.
    Ta cũng có: $OH \bot BD$ do $BD \bot OH$
    Do đó OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

    Ví dụ 2:
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông (ABC), SA=SB=2a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa BM và SC?
    Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm AB thì ta có $BM \bot (SNC)$

    Vấn đề 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
    Hướng làm: Quy về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng (vấn đề 1, 2)

    _________________________________________________________________

    Nếu $d_1$ không song song với $d_2$, $d_2 \subset(P)$ thì ta có: $d(d_1;d_2) = d(d_1;(P))$
    _________________________________________________________________


    Ví dụ:
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc (ABCD). Tính khoảng cách giữa AC và SD.
    Bài giải:
    - Cách 1: Tạo mặt phẳng qua AC và song song với SD.
    + Từ giao điểm O của AC và BD, trong mặt phẳng SBD kẻ OM song song với SD (M thuộc SB).
    + Khi đó ta có $SD//(AOM)$ và do đó: $d(SD;AC) = d(SD;(AOM)) = d(D;(AOM) )$
    + Ta có CD cắt (AOM) tại trung điểm O của CD nên: $d(D;(AOM)) = d(C;(AOM))$
    + Quy về vấn đề 3.
    - Cách 2: Tạo mặt phẳng qua SD và song song với AC.
    + Qua D, kẻ $Dx//AC$
    + Kẻ $AK \bot Dx\ (K \in Dx)$
    + Kẻ $AH \bot SK\ (H \in SK)$
    + AH chính là khoảng cách cần tìm.

    Mình sẽ xem lại đề các năm trước, có gì thiếu mình sẽ bổ sung sau :)
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2012

  3. Mấy bài toán ví dụ của cậu ý, mình muốn hỏi là chỉ cần nói điểm M thuộc trung điểm là sử dụng được luôn cái tỉ số đó hả cậu?

    duynhan1: Trong bài viết mình đâu nhắc tới trung điểm đâu :p
    Cái chỗ M mình gõ nhầm đấy, mình đã sửa lại rồi :D
    Uh, chỗ ví dụ vấn đề 4 mình ghi thiếu đề, hic.
    Thanks nhé!!
    Lần sau bạn chú ý gõ có dấu nhé :)
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2012
  4. maxqn

    maxqn Guest


    Bất cứ điểm nào mà ta xác định được tỉ số đều áp dụng cthức tỉ lệ đó đc :)
    P.s: chắc qua PR cho cái topic bên box Toán 12 của mình lun wá T__T Bên đó ế chỏng ế chơ mà bên này mới lên đã nổi :(
    Lên đúng thời điểm, hehe.
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2012
  5. rainbridge

    rainbridge Guest


    vì sao d(D;(AOM) )= OD vậy bạn? nếu vậy thì OD vuông góc với (AOM), trong khi OD cũng vuông góc (SAC), mâu thuẫn rùi?
    Lúc trưa mình làm vội quá, lộn chỗ này, mình sẽ sửa ngay, hic.
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng sáu 2012
  6. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Xin lỗi các bạn, trong bài viết lúc nãy có 1 vài sơ suất, mình đã sửa chữa và thêm 1 vấn đề nữa, các bạn xem lại giúp mình nhé.
    Cảm ơn, hi ;)
     

  7. mình xin tiếp ý kiến của bạn duy nhân

    Mình thấy tô pic này rất hay vì đa số thí sinh khi đi thi đại học đều rất lo lắng về câu hình học không gian. Theo ý kiến của mình thì trong đề thi những năm gần đây thông thường câu hình học không gian thường rơi vào những ý sau
    1. Tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ
    2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
    3. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
    Cũng sắp đến kì thi đại học rồi mình cũng xin đưa ra vài bài tập cùng các bạn thảo luận nhé
    mong rằng trong đợt thi này chúng ta đạt kết quả tốt
    Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng [TEX]60^o[/TEX]. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.
    Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ trực tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A'BC) bằng [TEX]\frac{a\sqrt{3}}{12}[/TEX]. Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho theo a.
     
  8. duynhan1

    duynhan1 Guest



    Mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên ta suy ra: $SI \bot (ABCD)$.
    Ta có: $\begin{cases} CD \bot SI \\ CD \bot ID \end{cases} \Rightarrow CD \bot (SID) $
    Lại có:
    .....$\begin{cases} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ SD \subset (SCD),\ SD \bot CD \\ ID \subset (ABCD),\ ID \bot CD \end{cases}$
    Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc $\hat{SDI}$ (do $\hat{SDI}<90^o$).
    Suy ra: $\hat{SDI} = 60^o$.
    $\Rightarrow SI = ID. \tan 60^o = a \sqrt{3}$
    Thể tích khối chóp S.ABCD là: $V_{S.ABCD} = \frac13 . \frac12(AB+CD) . AD . SI = a^3 \sqrt{3}$
    *TÍnh khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB theo a:
    Câu này nằm ở vấn đề 5, ta thấy việc tạo mặt phẳng song song với SB là khó khăn, nên ta sẽ tạo mặt phẳng song song với AD.
    <Chuyển khoảng cách giữa 2 đường về khoảng cách giữa điểm và mặt>
    Kẻ Bx//AD, ta suy ra: $AD // (SBx)$.
    <Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc>
    Suy ra: $d(AD;SB) = d(AD;(SBx)) = d(I;(SBx))$.
    <Thực hiện các bước như đã trình bày ở vấn đề 1>
    Kẻ $IK \bot Bx (K \in Bx)$, ta có: $BK \bot IK,\ BK \bot SI \Rightarrow BK bot (SIK)$.
    Kẻ $IH \bot (SK) (H \in SK)$. Ta có:
    .....$\begin{cases} IH \bot SK \\ IH \bot BK\ (do\ BK \bot (SIK)) \end{cases} \Rightarrow IH \bot (SBK)$
    Suy ra khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBx) là IH.
    Tính IH:
    ...Ta có: $IK =AB = 2a$.
    ...Xét tam giác $SIK$ vuông tại I, có IH là đường cao, ta suy ra: $IH = \frac{SI.IK}{\sqrt{SI^2+IK^2}} = \frac{2\sqrt{3} a^2 }{a \sqrt{7}} = \frac{2a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
    Kết luận: ......

     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng sáu 2012
  9. hoanghondo94

    hoanghondo94 Guest


    [​IMG]
    Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ khi đó ta có $AM\perp BC$, mặt khác $ABC.A'B'C'$ là một hình lăng trụ đứng nên : $AA' \perp (ABC)\Rightarrow AA' \perp BC$ từ đó ta có : $BC \perp (A'AM)\Rightarrow A'M \perp BC \ (1)$

    Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(A'BC)$, lúc đó dễ thấy $OH \perp BC$ chú ý với $OM \perp BC$ suy ra $HM \perp BC\ (2)$.

    Từ $(1)$ và $(2)$ ta có : $A', H, M$ thẳng hàng. Bây giờ ta xét trong $(A'AM)$ ta có : $$\Delta MHO \sim \Delta MAA' \Rightarrow \frac{OH}{AA'}=\frac{MO}{MA'}$$Đặt $AA'=x$ ta có : $OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{12},\ OM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6},\ MA'=\sqrt{x^2+AM^2}=\sqrt{x^2+\dfrac{3a^2}{4}}$
    Thay vào trên ta dễ dàng tính được : $AA'=x=\dfrac{a}{2}$. Từ đây : $V_{ABC.A'B'C'}=AA'.S_{ABC}=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}\ \mbox{(đvtt)}$

    Gọi $O'$ là tâm tam giác $A'B'C'$, $I$ là trung điểm của $OO'$ ta dễ dàng chứng minh được $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp của lăng trụ đã cho.

    Giả sử bán kính của mặt cầu này là $R$ thì khi đó ta có : $$R=IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{57}}{12}$$
     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng sáu 2012
  10. rainbridge

    rainbridge Guest


    Theo mình từ chỗ cm được BC vuông góc với (AA'M) ta suy ra (A'BC) vuông góc (AA'M)
    Trong mp (AA'M) từ O kẻ OH vuông góc với A'M thì OH vuông góc mp(A'BC')
    suy ra OH chính là khoảng cách từ O đến mp (A'BC)

    có lẽ là đơn giản dễ hiểu hơn ko nhỉ ^^
     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng sáu 2012

  11. Câu 3. Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh DC, AD. Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AM và BN. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và mặt phẳng (ABCD) bằng [TEX]60^o[/TEX]. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng BN, B'C.
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng sáu 2012

  12. bài 3
    bài làm
    gọi H là trung điểm của BC

    và M là hình chiểu của B lên AA'
    => thiết diện tạo bởi mp (P) là MBC
    có:AH = [​IMG]
    có:
    [​IMG]( c.g.c)
    [​IMG]cân tại M

    [​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng sáu 2012

  13. Bạn cho mình hỏi, tỉ số khoảng cách là được áp dụng trong bài thi mà không cần chứng minh luôn hả?
    Vì ở trường mình và một số trường khác buộc phải chứng minh trước khi dùng!
     

  14. Chào em!
    Tỉ số thể tích (định lí Simson) đã được chứng minh trong bài tập trong sách giáo khoa nên đi thi em không cần chứng minh lại.
    Lưu ý: Định lý Simson chỉ áp dụng cho chóp tam giác (tứ diện).
     


  15. Vấn đề 3: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng chứa chân đường vuông góc
    Khi mà mặt phẳng chứa chân đường vuông góc thì ta không có cách nào đưa về vấn đề 1 được, khi đó ta dùng THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH

    Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
    Bài giải:
    Ta có: $d(B;(ACM)) = \frac{3V_{BACM}}{S_{\Delta ACM}}$.
    - Tính $V_{SACM}$:
    Áp dụng CT tỉ số thể tích ta có: $$\frac{V_{SACM}}{V_{SABC}} = \frac12 \Rightarrow V_{BACM} = \frac12 V_{S.ABC} = \frac12 . \frac13. \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . 2a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$$
    - Tính $S_{ACM}$:
    + Ta có AC rồi.
    + Kẻ $MH \bot AC \ (H \in AC)$ ta cần tính MH.
    + Kẻ $MK \bot AB \ (K \in AB)$, khi đó K là trung điểm AB
    + $KH = AK . \sin 60 = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
    + $MK = \frac12 SA= a$
    + $\Rightarrow MH = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$
    Vậy là đã xong bài toán.
    Các bạn thử lý giải vì sao lại kẻ $MK \bot AB$ nhé :) (chú ý là ta chưa sử dụng giả thiết M là trung điểm nên cần liên hệ nó lại).
    [/QUOTE]
    --------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Mình muốn hỏi vì sao lại có $KH = AK . \sin 60
     
  16. gacon1104

    gacon1104 Guest


    mọi người có thể giúp em hiểu rõ hơn về phân khoảng cách giữa 2 đường thẳng được k ạ
     

  17. cám ơn mấy bạn nha, bài giải hay quá, hay hơn cách của mấy thầy cô mình nữa
     

  18. topic này hay lắm bạn à, hình học không gian đúng là rất khó, nhất là đại học làm 1 bài này mất đến cả 1h
     

  19. mấy bạn giải hay quá, hình học không gian đúng là rất khó, vẽ hình còn khó huống chi là giải
     

CHIA SẺ TRANG NÀY