bạn có thể chứng minh rõ ra hk mình đã hỏi cô dạy toán nhưng cô bảo hk có giả thiết chắc chắn nên phải dùng côsin nhưng mình thấy nếu CM được thì đơn giản hơn nhìu bạn có thể CM hộ mình ko
Chứng minh tổng quát
Xét hàm số [TEX]y = \frac{{{\rm{ax}} + b}}{{cx + d}},c \ne 0,ad - bc \ne 0[/TEX]
Đầu tiên ta chứng minh tồn tại điểm M,N thuộc đồ thị hàm số sao cho
[TEX]IM \bot d_1 ,IN \bot d_2 [/TEX] với d1;d2 là các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M,N và I là tâm đối xứng của đồ thì hàm số
Ta có [TEX]\begin{array}{l} M\left( {x_M ;\frac{{{\rm{ax}}_M + b}}{{cx_M + d}}} \right);I\left( {\frac{{ - d}}{c};\frac{a}{c}} \right);vtIM\left( {x_M + \frac{d}{c};\frac{{bc - ad}}{{c\left( {cx_M + d} \right)}}} \right) \\ d_1 :y = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cx_M + d} \right)^2 }}\left( {x - x_M } \right) + \frac{{{\rm{ax}}_M + b}}{{cx_M + d}} \\ \end{array}[/TEX]
do ta cần d1 vuông góc với IM hay là
[TEX]\begin{array}{l} x_M + \frac{d}{c} + \frac{{bc - ad}}{{c\left( {cx_M + d} \right)}}.\frac{{ad - bc}}{{\left( {cx_M + d} \right)^2 }} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {cx_M + d} \right)^4 - \left( {ad - bc} \right)^2 }}{{c\left( {cx_M + d} \right)^3 }} = 0 \\ \Leftrightarrow x_M = \frac{{ \pm \sqrt {\left| {ad - bc} \right|} - d}}{c} \\ \end{array}[/TEX]
có 2 điểm M là do chính là một điểm là N đối xứng với M qua I
Tiếp theo ta chứng minh MN là nhỏ nhất, thực vậy xét hai tiếp tuyến tại M và N, do M,N đối xứng với nhau qua I cho nên d1 song song d2 khi đó MN chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó
Nhận xét là đối với mỗi nhánh đồ thì hàm số ban đầu thì tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ đều nằm hoàn toàn trên hoặc dưới so với mỗi nhánh (1)-dễ Cm được)
Gọi M',N' là 1 điểm bất kỳ khi đó ta suy ra đoạn thẳng M'N' sẽ cắt d1;d2 tại P,Q (Q,P đều nằm trong M'N' do nhận xét (1) và hiển nhiên PQ>=MN do đoạn vuông góc dĩ nhiên là đoạn ngắn nhât!!!)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn