HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy GIA NHẬP ngay

[toán 9]Đề ôn thi học sinh giỏi!, (mỗi tuần một đề!)

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 9' bắt đầu bởi bboy114crew, 6 Tháng ba 2011.

Lượt xem: 26,061

  1. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    Mình lập ra topic này nhằm giúp cho mình và các bạn lớp 9 khác cùng ôn luyện để có thể đạt được kết quả tôt nhất trong kì thi HSG lớp 9!
    Mỗi tuần mình sẽ post một đề !
    Nội dung đề ko quá khó và cung ko quá dễ mong mọi người nhiệt tình tham gia và hưởng ứng!:)

    Một số đề thi:

    ĐÊ THI hsg CÁC TỈNH
    ĐỀ 1.
    Bài 1: (4 điểm)
    1)Giải phương tr“nh:[tex]\sqrt{9+\sqrt{x}} = 2+\sqrt{x}[/tex]
    2)CMR:
    [tex]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}} > \frac{9}{4}[/tex]
    Bài 2: (4 điểm )
    1) Giải hệ phương tr“nh:
    [tex] \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\\frac{1}{\sqrt{y}} + \sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{array}\right. [/tex]
    2)Cho phương tr“nh [tex]x^4-6x^2+4=0[/tex] .CMR phương tr“nh đã cho có 4 nghiệm phân biệt . Gọi các nghiệm đó làn lượt là [tex]x_1;x_2;x_3;x_4[/tex].Hãy tính [tex]x_1^6+x_2^6+x^3^6+x_4^6[/tex]
    Bài 3: (4 điểm)
    1)T“m cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:
    [tex] x (x^2+x+1)=4y(y+1)[/tex]
    2)Cho các số dương x,y,z .CMR:
    [tex]\sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{b^2+bc+c^2} + \sqrt{c^2+ac+a^2} \geq \sqrt{3}(a+b+c)[/tex]
    Bài 4: ( 6 điểm)
    Cho (O) đường kính AB.Gọi I,K thuộc đoạn thẳng AB sao cho OI=OK,[tex] M \in (O)[/tex] .Các đoạn MO,MI,MK cắt (O) lần lượt tại E,C,D.đoạn CD cắt AB tại F, EI cắt DF tại N,MI cắt EF tại H.
    1)chứng minh: FA.FB=FC.FD
    2)chứng minh: ENCH nội tiếp
    3)chứng minh: EF là tiếp tuyến của (O).
    Bài 5: (2 điểm)
    CMR: nếu các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn [tex]x^2y^2-4x+4y=z^2[/tex] th“ x=y.
    p\s: tuần sau pót tiếp!
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng tư 2011
  2. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    Bài 1 :
    [TEX]Da.t \ : \ \sqrt{x} \ + \ 2 \ = \ y > 0[/TEX]

    Phương trình đã cho có dạng :

    [TEX] \sqrt{y \ + \ 7} \ = \ y \ \ \ \ y \ + \ 7 \ = \ y^2[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \ y^2 \ - \ y \ - \ 7 \ = \ 0[/TEX]
    Dùng công thức nghiệm là xong.

    Bài 2 : Hệ phương trình không có vế phải à ?

    Nhưng nói chung bài đấy đặt ẩn phụ :
    [TEX]a \ = \ \frac{1}{x} \ ; \ b \ = \ \frac{1}{y}[/TEX]

    Hệ phương trình cần giải là hệ phương trình đối xứng loại 2.
    Thực hiện trừ từng vế rồi giải phương trình mới là xong.

    Bài 4:

    [​IMG]

    1. Nối B với D ; A với C.

    [TEX]Xe't \ \Delta FBD \ va` \ \Delta FCA \ co' :[/TEX]

    [TEX]\hat{AFC} : chung[/TEX]

    [TEX]\hat{FDB} \ = \ \hat{FAC} \ (cu`ng \ bu` \ vs \ \hat{CDB} )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ \Delta FBD \ \sim \ \Delta FCA \ (g-g)[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ \frac{FB}{FC} \ = \ \frac{FD}{FA} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ FA.FB \ = \ FC.FD \ \ \ (dccm)[/TEX]
     
  3. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    BÀI NÀY ĐẶT ẨN PHỤ HƠI DÀI!
    mình sẽ chứng minh x=y !
    rồi thay vào là xong!
    cậu thử chém bài cuối xem!
    mình đang bí bài đó!:confused:
     

  4. BĐT Mincopxki hả pạn ^^. Làm hết nhé :)

    1) Giải hệ pt:
    [tex]x^2-2x\sqrt{y}+2y=x[/tex]
    [tex]y^2-2y\sqrt{z}+2z=y[/tex]
    [tex]z^2-2z\sqrt{x}+2x=z[/tex]
    2) Giải pt:
    [tex]x^3-x^2-x=\frac{1}{3}[/tex]
     
  5. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]PT \Leftrightarrow 3x^3-3x^2-3x-1=0 \Leftrightarrow 2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=0 \Leftrightarrow 2x^3-(x+1)^3=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2}x)^3-(x+1)^3=0[/TEX]
    Hiệu 2 lập phương ;)
     
  6. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]PT(1) \Leftrightarrow (x-\sqrt{y})^2=x-y; PT(2) \Leftrightarrow (y-\sqrt{z})^2=y-z; PT(3) \Leftrightarrow (z-\sqrt{x})^2=z-x[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x=\sqrt{y}; y=sqrt{z}; z=\sqrt{x} \Rightarrow x=y=z=1[/TEX]
     

  7. Bài đó đáp án như sau:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3+-+x^2-x-\frac{1}{3}%3D0+
    Gơn thấy cũng giống giống nhưng nghe nói pp Tiếp tuyến - Niu Tơn gì đó để tìm n0 của hệ pt bậc cao. NH làm cách đó đc ko :)
     
  8. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{b^2+bc+c^2} + \sqrt{c^2+ac+a^2} [/tex]
    [tex]= \sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2} + \sqrt{(b+\frac{1}{2}c)^2 + \frac{3}{4}c^2} + \sqrt{(c+\frac{1}{2}a)^2+\frac{3}{4}a^2} \geq \sqrt{[\frac{3}{2}(a+b+c)]^2 + [\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2} = \sqrt{3}(a+b+c)[/TEX]
     
  9. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Không nên xài mấy BDT phụ ^^

    Ta có :

    [TEX]a^2 + ab + b^2 \ge \frac34 (a+b)^2 [/TEX] nên dễ dàng có điều phải chứng minh.
     
  10. quan8d

    quan8d Guest


    b) [TEX]KE // IH , KD // IN \rightarrow \frac{FK}{FI} = \frac{FD}{FN} = \frac{FE}{FH} \rightarrow ED // NH \rightarrow \Delta INH \sim \Delta KDE \rightarrow g.IHN = g.KED[/TEX]
    Mặt khác : [TEX]g.CEI+g.IEM+g.IME = 90 = g.KME+g.KEM+g.KED . Mà g.IME+g.IEM = g.KME+g.KEM \rightarrow g.IEC = g.KED[/TEX]
    Do đó : [TEX]g.IHN = g.IEC \rightarrow[/TEX] tứ giác CNEH nội tiếp
    c) Gọi MD cắt EF tại P thì [TEX]g.IEH = g.MPH [/TEX]. Mà [TEX]g.IEH = g.ICD = g.MED[/TEX]

    [TEX]\rightarrow g.MPH = g.MED \rightarrow [/TEX] điều cần suy ra
     
  11. bananamiss

    bananamiss Guest


    Ta có
    [TEX]\frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \frac{1}{\sqrt{4}+ \sqrt{5}}[/TEX] ( trục căn lên là cm ok)

    tương tự

    [TEX]\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} > \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}[/TEX]

    ...

    [TEX]\frac{4}{\sqrt{97}+\sqrt{99}} > \frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{98}}+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 4 VT > \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+ \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101 }}=\sqrt{101}-\sqrt{1} > 9[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm [/TEX]



     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng ba 2011
  12. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    ĐỀ 2
    Câu 1: (4 đ)
    1) cho [TEX]T= \frac{x}{ax-2a^3} - \frac{2}{x^2-(1-2a)x-2a}.(1+\frac{x^2+3x}{x+3})[/TEX] với a là tham số.
    Tìm x để T=a.
    2)Cho n là sô nguyên lẻ .CMR:
    [TEX](1^n+2^n+...+2010^n) \vdots (1+2+...+2010)[/TEX]
    Câu 2:
    1)Cho a,b,c.d là các số nguyên dương thoả mãn ab=cd.
    CMR:
    [TEX]a^n+b^n+c^n+d^n[/TEX] là hợp số.
    2) cho a,b,c >0 , a+b+c=1.Tòm GTNN của :
    [TEX]\frac{a^2}{\sqrt{bc+a}}+ \frac{b^2}{\sqrt{ac+b}} + \frac{c^2}{\sqrt{ab+c}}[/TEX]
    Câu 3:
    1)Cho tam giác ABC có BC=a;CA=b;AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức [TEX]R(b+c) = a\sqrt{bc}[/TEX].Hãy xác định dạng của tam giác ABC>
    2) Giả sử tam giác ABC ko có góc tù , có hai đường cao AH và BK .Cho biết [tex]AH \geq BC;BK \geq AC[/tex].Hãy tính các góc của tam giác ABC.
    Câu 4:
    Cho đường tròn (O;R) với hai đường kính phân biệt AB và CD.Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại M và N.Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN .
    a) CMR: tứ giác CDMN nội tiếp.
    b)tính diện tích tứ giác CDQP theo R biết MN=4R.
    c)Cho đường kính AB cố định .Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi CD thay đổi.
    Câu 5:
    1) Tìm tất cả các số tự nhiên n và k sao cho [TEX]n^4+4^{2k+1}[/TEX] là số nguyên tố.
    2) Cho các số thực a,b thoả mãn [TEX]a^3+b^3=2[/TEX].Tìm tất cả các giá trị nguyên của a+b.
    p\s: còn tiếp!:)>-
     
  13. quan8d

    quan8d Guest


    [TEX]\frac{a^2}{\sqrt{bc+a}} = \frac{a^2}{bc+a^2+ab+ac} = \frac{a^2}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{2a^2}{1+a}[/TEX]
    Xây dựng các BĐT tương tự suy ra :
    [TEX]\sum \frac{2a^2}{1+a} \geq \frac{2.(a+b+c)^2}{3+a+b+c} = \frac{1}{2}[/TEX]
     
  14. quan8d

    quan8d Guest


    [TEX]n^4+{4}^{2k+1} = n^4+{2}^{4k+2} = n^4+2.{2}^{2k+1}+{2}^{4k+2}-2.{2}^{2k+1} = (n^2+{2}^{2k+1})^2-{2}^{2k+2} [/TEX]
    Hiệu 2 bình phương
     
  15. bananamiss

    bananamiss Guest


    [TEX]g/s \ (a,c)=p (p\geq 1, p\ \epsilon \ N)[/TEX]


    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1p \\ c=c_1p \end{matrix}\right \ (a_1,c_1\ \epsilon \ N^* , (a_1,c_1)=1)[/TEX]

    [TEX]ab=cd \rightarrow a_1pb=c_1dp \leftrightarrow a_1b=dc_1[/TEX]


    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} ba_1\ \vdots \ c_1 \\ dc_1 \ \vdots \ a_1 \end{matrix}\right [/TEX]

    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} b\ \vdots \ c_1 \\ d \ \vdots \ a_1 \end{matrix}\right \ ( \ do \ (a_1,c_1)=1 )[/TEX]

    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=c_1q \\ d=a_1q \end{matrix}\right [/TEX]

    [TEX]A=a^n+b^n+c^n+d^n=a_1^n.p^n+c_1^n.q^n+c_1^n.p^n+a_1^n.q^n[/TEX]

    [TEX]=(a_1^n+c_1^n)(p^n+q^n)[/TEX]

    [TEX]do \ a_1,c_1 \ \epsilon \ N^* , p^n,q^n \ \epsilon \ N^* \rightarrow \left\{\begin{matrix} a_1^n+c_1^n \geq 2 \\ p^n+q^n \geq 2 \end{matrix}\right \ ( \ do \ (a_1,c_1)=1 )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
     
  16. bananamiss

    bananamiss Guest


    tổng quát

    vơi k lẻ thì
    [​IMG]


    *có


    [​IMG]


    với [​IMG] với k lẻ


    [​IMG]


    * có

    [​IMG]

    [​IMG]


    [​IMG]



    [TEX]\Rightarrow 2S \ \vdots \ n(n+1) \Rightarrow S \ \vdots \ \frac{n(n+1)}{2} =1+2+...+n[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
     
  17. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    [​IMG]

    a)
    Vì AB và CD là 2 đường kính của đường tròn (O) nên ta có :
    cung AD = cung CB'
    [TEX]\Rightarrow \ \hat{CDB} \ = \ \hat{DAM} \ \ \ (1)[/TEX]
    Lại có :
    [TEX]\hat{ANC} \ = \ \hat{DAM} \ \ \ (2)[/TEX]
    ( Suy ra từ tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
    Từ (1) và (2) suy ra : MNCD là tứ giác nôi tiếp ( Vì góc ANC = góc CDB là góc ngoài tại đỉnh đối diện )

    b) Ta có : Góc ACB = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
    \Rightarrow Góc NCA = 90 độ \Rightarrow Tam giác NCA vuông tại C. Có đường trung tuyến CQ ứng với cạnh huyền AN
    [TEX] \Rightarrow \ CQ \ = \ \frac{AN}{2}[/TEX]
    Hoàn toàn tương tự ta có :
    [TEX]DP \ = \ \frac{AM}{2}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ CQ + DP \ = \ \frac{AN+AM}{2} \ = \ \frac{NM}{2} \ = \ 2R[/TEX]

    Vì : QPDC là hình thang vuông nên ta có :
    [TEX]S_{QPDC} \ = \ \frac{1}{2} . CD . (CQ + DP) \ = \ \frac{1}{2} . R . 2R \ = \ R^2 \ (dvdt)[/TEX]
     
  18. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a;b;c là các số dương.
    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương b và c ta có :

    [TEX]b \ + \ c \ \geq \ 2\sqrt{bc} \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \ R.(b+c) \ \geq \ 2R.\sqrt{bc}[/TEX]

    Dấu đẳng thức xảy ra khi b = c
    Từ đây ta có :
    [TEX]R.(b+c) \ = \ 2R.\sqrt{bc} \ \ \ \Leftrightarrow \ b \ = \ c \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

    Vì R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có :
    2R là đường kính của đường tròn ; BC là 1 dây của đường tròn.

    [TEX]\Rightarrow 2R \ \geq \ a \ \ \ \Leftrightarrow \ 2R.2\sqrt{bc} \ \geq \ a.\sqrt{bc}[/TEX]

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2R
    Từ đây ta có :
    [TEX]2R.\sqrt{bc} \ = \ a.\sqrt{bc} \ \ \ \Leftrightarrow \ a \ = \ 2R \ \ \ \ \ (2)[/TEX]

    Từ (1) và (2) suy ra :

    [TEX]R(b+c) = a\sqrt{bc} \ \ \ \ \Leftrightarrow \ b \ = c \ va` \ a \ = \ 2R[/TEX]

    Vậy : Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện bài toán là tam giác vuông cân tại A.
     
  19. ohmymath

    ohmymath Guest


    Bài 5:
    Đặt a+b=k Thì ta phải tìm k sao cho k thuộc Z và k thoả mãn hệ sau có nghiệm:

    [TEX] \begin{cases} a+b=k\\ a^2+b^2-ab=\frac{2}{k} \end{cases} [/TEX]

    Hệ này có nghiệm [TEX]\Leftrightarrow k>0[/TEX](từ pt 2 say ra đó!!) và
    [TEX]ab \leq \frac{k^2}{4}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow k^2-\frac{2}{k}\leq\frac{3k^2}{4}[/TEX] (lấy pt 1 bình phương rùi trừ pt 2 là ra cái vế trái ấy!!)

    Đến đây là ngon rùi!! Còn mình chưa tính kết quả chi tiết=>ngại!!nhưng chắc là không nhiều lắm vì k>0 rùi!!

    Hik ai sửa hộ tui cái hệ pt vs!!!tui không sửa nổi=>trình gà:((
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011

  20. Nhờ 1 câu, xin ít đất thôi ( sr Q3, sẵn thử sửa tex hộ Khánh mà :D )
    Cho tg ABC có [tex]3.\hat{A}+2.\hat{B}=180^o[/tex]. Prove: [tex]BC^2=AB(AB-AC)[/TEX]
    p/s: sr U, sửa mãi ứ đc. U gà tớ trứng =))
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011

CHIA SẺ TRANG NÀY