Bạn hãy ĐĂNG NHẬP để sử dụng nhiều chức năng hơn

[toán 9]Đề ôn thi học sinh giỏi!, (mỗi tuần một đề!)

Thảo luận trong 'Đề thi - Tài liệu lớp 9' bắt đầu bởi bboy114crew, 6 Tháng ba 2011.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 26,159

  1. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Sổ tay hướng dẫn sử dụng HMforum phiên bản mới


    Mình lập ra topic này nhằm giúp cho mình và các bạn lớp 9 khác cùng ôn luyện để có thể đạt được kết quả tôt nhất trong kì thi HSG lớp 9!
    Mỗi tuần mình sẽ post một đề !
    Nội dung đề ko quá khó và cung ko quá dễ mong mọi người nhiệt tình tham gia và hưởng ứng!:)

    Một số đề thi:

    ĐÊ THI hsg CÁC TỈNH
    ĐỀ 1.
    Bài 1: (4 điểm)
    1)Giải phương tr“nh:[tex]\sqrt{9+\sqrt{x}} = 2+\sqrt{x}[/tex]
    2)CMR:
    [tex]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}} > \frac{9}{4}[/tex]
    Bài 2: (4 điểm )
    1) Giải hệ phương tr“nh:
    [tex] \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\\frac{1}{\sqrt{y}} + \sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{array}\right. [/tex]
    2)Cho phương tr“nh [tex]x^4-6x^2+4=0[/tex] .CMR phương tr“nh đã cho có 4 nghiệm phân biệt . Gọi các nghiệm đó làn lượt là [tex]x_1;x_2;x_3;x_4[/tex].Hãy tính [tex]x_1^6+x_2^6+x^3^6+x_4^6[/tex]
    Bài 3: (4 điểm)
    1)T“m cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:
    [tex] x (x^2+x+1)=4y(y+1)[/tex]
    2)Cho các số dương x,y,z .CMR:
    [tex]\sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{b^2+bc+c^2} + \sqrt{c^2+ac+a^2} \geq \sqrt{3}(a+b+c)[/tex]
    Bài 4: ( 6 điểm)
    Cho (O) đường kính AB.Gọi I,K thuộc đoạn thẳng AB sao cho OI=OK,[tex] M \in (O)[/tex] .Các đoạn MO,MI,MK cắt (O) lần lượt tại E,C,D.đoạn CD cắt AB tại F, EI cắt DF tại N,MI cắt EF tại H.
    1)chứng minh: FA.FB=FC.FD
    2)chứng minh: ENCH nội tiếp
    3)chứng minh: EF là tiếp tuyến của (O).
    Bài 5: (2 điểm)
    CMR: nếu các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn [tex]x^2y^2-4x+4y=z^2[/tex] th“ x=y.
    p\s: tuần sau pót tiếp!
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng tư 2011
  2. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    Bài 1 :
    [TEX]Da.t \ : \ \sqrt{x} \ + \ 2 \ = \ y > 0[/TEX]

    Phương trình đã cho có dạng :

    [TEX] \sqrt{y \ + \ 7} \ = \ y \ \ \ \ y \ + \ 7 \ = \ y^2[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \ y^2 \ - \ y \ - \ 7 \ = \ 0[/TEX]
    Dùng công thức nghiệm là xong.

    Bài 2 : Hệ phương trình không có vế phải à ?

    Nhưng nói chung bài đấy đặt ẩn phụ :
    [TEX]a \ = \ \frac{1}{x} \ ; \ b \ = \ \frac{1}{y}[/TEX]

    Hệ phương trình cần giải là hệ phương trình đối xứng loại 2.
    Thực hiện trừ từng vế rồi giải phương trình mới là xong.

    Bài 4:

    [​IMG]

    1. Nối B với D ; A với C.

    [TEX]Xe't \ \Delta FBD \ va` \ \Delta FCA \ co' :[/TEX]

    [TEX]\hat{AFC} : chung[/TEX]

    [TEX]\hat{FDB} \ = \ \hat{FAC} \ (cu`ng \ bu` \ vs \ \hat{CDB} )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ \Delta FBD \ \sim \ \Delta FCA \ (g-g)[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ \frac{FB}{FC} \ = \ \frac{FD}{FA} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ FA.FB \ = \ FC.FD \ \ \ (dccm)[/TEX]
     
  3. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    BÀI NÀY ĐẶT ẨN PHỤ HƠI DÀI!
    mình sẽ chứng minh x=y !
    rồi thay vào là xong!
    cậu thử chém bài cuối xem!
    mình đang bí bài đó!:confused:
     

  4. BĐT Mincopxki hả pạn ^^. Làm hết nhé :)

    1) Giải hệ pt:
    [tex]x^2-2x\sqrt{y}+2y=x[/tex]
    [tex]y^2-2y\sqrt{z}+2z=y[/tex]
    [tex]z^2-2z\sqrt{x}+2x=z[/tex]
    2) Giải pt:
    [tex]x^3-x^2-x=\frac{1}{3}[/tex]
     
  5. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]PT \Leftrightarrow 3x^3-3x^2-3x-1=0 \Leftrightarrow 2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=0 \Leftrightarrow 2x^3-(x+1)^3=0[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2}x)^3-(x+1)^3=0[/TEX]
    Hiệu 2 lập phương ;)
     
  6. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]PT(1) \Leftrightarrow (x-\sqrt{y})^2=x-y; PT(2) \Leftrightarrow (y-\sqrt{z})^2=y-z; PT(3) \Leftrightarrow (z-\sqrt{x})^2=z-x[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x=\sqrt{y}; y=sqrt{z}; z=\sqrt{x} \Rightarrow x=y=z=1[/TEX]
     

  7. Bài đó đáp án như sau:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3+-+x^2-x-\frac{1}{3}%3D0+
    Gơn thấy cũng giống giống nhưng nghe nói pp Tiếp tuyến - Niu Tơn gì đó để tìm n0 của hệ pt bậc cao. NH làm cách đó đc ko :)
     
  8. 0915549009

    0915549009 Guest


    [TEX]sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{b^2+bc+c^2} + \sqrt{c^2+ac+a^2} [/tex]
    [tex]= \sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2} + \sqrt{(b+\frac{1}{2}c)^2 + \frac{3}{4}c^2} + \sqrt{(c+\frac{1}{2}a)^2+\frac{3}{4}a^2} \geq \sqrt{[\frac{3}{2}(a+b+c)]^2 + [\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2} = \sqrt{3}(a+b+c)[/TEX]
     
  9. duynhan1

    duynhan1 Guest


    Không nên xài mấy BDT phụ ^^

    Ta có :

    [TEX]a^2 + ab + b^2 \ge \frac34 (a+b)^2 [/TEX] nên dễ dàng có điều phải chứng minh.
     
  10. quan8d

    quan8d Guest


    b) [TEX]KE // IH , KD // IN \rightarrow \frac{FK}{FI} = \frac{FD}{FN} = \frac{FE}{FH} \rightarrow ED // NH \rightarrow \Delta INH \sim \Delta KDE \rightarrow g.IHN = g.KED[/TEX]
    Mặt khác : [TEX]g.CEI+g.IEM+g.IME = 90 = g.KME+g.KEM+g.KED . Mà g.IME+g.IEM = g.KME+g.KEM \rightarrow g.IEC = g.KED[/TEX]
    Do đó : [TEX]g.IHN = g.IEC \rightarrow[/TEX] tứ giác CNEH nội tiếp
    c) Gọi MD cắt EF tại P thì [TEX]g.IEH = g.MPH [/TEX]. Mà [TEX]g.IEH = g.ICD = g.MED[/TEX]

    [TEX]\rightarrow g.MPH = g.MED \rightarrow [/TEX] điều cần suy ra
     
  11. bananamiss

    bananamiss Guest


    Ta có
    [TEX]\frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \frac{1}{\sqrt{4}+ \sqrt{5}}[/TEX] ( trục căn lên là cm ok)

    tương tự

    [TEX]\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} > \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}[/TEX]

    ...

    [TEX]\frac{4}{\sqrt{97}+\sqrt{99}} > \frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{98}}+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 4 VT > \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+ \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101 }}=\sqrt{101}-\sqrt{1} > 9[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm [/TEX]



     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng ba 2011
  12. bboy114crew

    bboy114crew Guest


    ĐỀ 2
    Câu 1: (4 đ)
    1) cho [TEX]T= \frac{x}{ax-2a^3} - \frac{2}{x^2-(1-2a)x-2a}.(1+\frac{x^2+3x}{x+3})[/TEX] với a là tham số.
    Tìm x để T=a.
    2)Cho n là sô nguyên lẻ .CMR:
    [TEX](1^n+2^n+...+2010^n) \vdots (1+2+...+2010)[/TEX]
    Câu 2:
    1)Cho a,b,c.d là các số nguyên dương thoả mãn ab=cd.
    CMR:
    [TEX]a^n+b^n+c^n+d^n[/TEX] là hợp số.
    2) cho a,b,c >0 , a+b+c=1.Tòm GTNN của :
    [TEX]\frac{a^2}{\sqrt{bc+a}}+ \frac{b^2}{\sqrt{ac+b}} + \frac{c^2}{\sqrt{ab+c}}[/TEX]
    Câu 3:
    1)Cho tam giác ABC có BC=a;CA=b;AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức [TEX]R(b+c) = a\sqrt{bc}[/TEX].Hãy xác định dạng của tam giác ABC>
    2) Giả sử tam giác ABC ko có góc tù , có hai đường cao AH và BK .Cho biết [tex]AH \geq BC;BK \geq AC[/tex].Hãy tính các góc của tam giác ABC.
    Câu 4:
    Cho đường tròn (O;R) với hai đường kính phân biệt AB và CD.Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại M và N.Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN .
    a) CMR: tứ giác CDMN nội tiếp.
    b)tính diện tích tứ giác CDQP theo R biết MN=4R.
    c)Cho đường kính AB cố định .Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi CD thay đổi.
    Câu 5:
    1) Tìm tất cả các số tự nhiên n và k sao cho [TEX]n^4+4^{2k+1}[/TEX] là số nguyên tố.
    2) Cho các số thực a,b thoả mãn [TEX]a^3+b^3=2[/TEX].Tìm tất cả các giá trị nguyên của a+b.
    p\s: còn tiếp!:)>-
     
  13. quan8d

    quan8d Guest


    [TEX]\frac{a^2}{\sqrt{bc+a}} = \frac{a^2}{bc+a^2+ab+ac} = \frac{a^2}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{2a^2}{1+a}[/TEX]
    Xây dựng các BĐT tương tự suy ra :
    [TEX]\sum \frac{2a^2}{1+a} \geq \frac{2.(a+b+c)^2}{3+a+b+c} = \frac{1}{2}[/TEX]
     
  14. quan8d

    quan8d Guest


    [TEX]n^4+{4}^{2k+1} = n^4+{2}^{4k+2} = n^4+2.{2}^{2k+1}+{2}^{4k+2}-2.{2}^{2k+1} = (n^2+{2}^{2k+1})^2-{2}^{2k+2} [/TEX]
    Hiệu 2 bình phương
     
  15. bananamiss

    bananamiss Guest


    [TEX]g/s \ (a,c)=p (p\geq 1, p\ \epsilon \ N)[/TEX]


    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1p \\ c=c_1p \end{matrix}\right \ (a_1,c_1\ \epsilon \ N^* , (a_1,c_1)=1)[/TEX]

    [TEX]ab=cd \rightarrow a_1pb=c_1dp \leftrightarrow a_1b=dc_1[/TEX]


    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} ba_1\ \vdots \ c_1 \\ dc_1 \ \vdots \ a_1 \end{matrix}\right [/TEX]

    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} b\ \vdots \ c_1 \\ d \ \vdots \ a_1 \end{matrix}\right \ ( \ do \ (a_1,c_1)=1 )[/TEX]

    [TEX]\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=c_1q \\ d=a_1q \end{matrix}\right [/TEX]

    [TEX]A=a^n+b^n+c^n+d^n=a_1^n.p^n+c_1^n.q^n+c_1^n.p^n+a_1^n.q^n[/TEX]

    [TEX]=(a_1^n+c_1^n)(p^n+q^n)[/TEX]

    [TEX]do \ a_1,c_1 \ \epsilon \ N^* , p^n,q^n \ \epsilon \ N^* \rightarrow \left\{\begin{matrix} a_1^n+c_1^n \geq 2 \\ p^n+q^n \geq 2 \end{matrix}\right \ ( \ do \ (a_1,c_1)=1 )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
     
  16. bananamiss

    bananamiss Guest


    tổng quát

    vơi k lẻ thì
    [​IMG]


    *có


    [​IMG]


    với [​IMG] với k lẻ


    [​IMG]


    * có

    [​IMG]

    [​IMG]


    [​IMG]



    [TEX]\Rightarrow 2S \ \vdots \ n(n+1) \Rightarrow S \ \vdots \ \frac{n(n+1)}{2} =1+2+...+n[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
     
  17. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    [​IMG]

    a)
    Vì AB và CD là 2 đường kính của đường tròn (O) nên ta có :
    cung AD = cung CB'
    [TEX]\Rightarrow \ \hat{CDB} \ = \ \hat{DAM} \ \ \ (1)[/TEX]
    Lại có :
    [TEX]\hat{ANC} \ = \ \hat{DAM} \ \ \ (2)[/TEX]
    ( Suy ra từ tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
    Từ (1) và (2) suy ra : MNCD là tứ giác nôi tiếp ( Vì góc ANC = góc CDB là góc ngoài tại đỉnh đối diện )

    b) Ta có : Góc ACB = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
    \Rightarrow Góc NCA = 90 độ \Rightarrow Tam giác NCA vuông tại C. Có đường trung tuyến CQ ứng với cạnh huyền AN
    [TEX] \Rightarrow \ CQ \ = \ \frac{AN}{2}[/TEX]
    Hoàn toàn tương tự ta có :
    [TEX]DP \ = \ \frac{AM}{2}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \ CQ + DP \ = \ \frac{AN+AM}{2} \ = \ \frac{NM}{2} \ = \ 2R[/TEX]

    Vì : QPDC là hình thang vuông nên ta có :
    [TEX]S_{QPDC} \ = \ \frac{1}{2} . CD . (CQ + DP) \ = \ \frac{1}{2} . R . 2R \ = \ R^2 \ (dvdt)[/TEX]
     
  18. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest


    Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a;b;c là các số dương.
    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương b và c ta có :

    [TEX]b \ + \ c \ \geq \ 2\sqrt{bc} \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \ R.(b+c) \ \geq \ 2R.\sqrt{bc}[/TEX]

    Dấu đẳng thức xảy ra khi b = c
    Từ đây ta có :
    [TEX]R.(b+c) \ = \ 2R.\sqrt{bc} \ \ \ \Leftrightarrow \ b \ = \ c \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

    Vì R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có :
    2R là đường kính của đường tròn ; BC là 1 dây của đường tròn.

    [TEX]\Rightarrow 2R \ \geq \ a \ \ \ \Leftrightarrow \ 2R.2\sqrt{bc} \ \geq \ a.\sqrt{bc}[/TEX]

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2R
    Từ đây ta có :
    [TEX]2R.\sqrt{bc} \ = \ a.\sqrt{bc} \ \ \ \Leftrightarrow \ a \ = \ 2R \ \ \ \ \ (2)[/TEX]

    Từ (1) và (2) suy ra :

    [TEX]R(b+c) = a\sqrt{bc} \ \ \ \ \Leftrightarrow \ b \ = c \ va` \ a \ = \ 2R[/TEX]

    Vậy : Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện bài toán là tam giác vuông cân tại A.
     
  19. ohmymath

    ohmymath Guest


    Bài 5:
    Đặt a+b=k Thì ta phải tìm k sao cho k thuộc Z và k thoả mãn hệ sau có nghiệm:

    [TEX] \begin{cases} a+b=k\\ a^2+b^2-ab=\frac{2}{k} \end{cases} [/TEX]

    Hệ này có nghiệm [TEX]\Leftrightarrow k>0[/TEX](từ pt 2 say ra đó!!) và
    [TEX]ab \leq \frac{k^2}{4}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow k^2-\frac{2}{k}\leq\frac{3k^2}{4}[/TEX] (lấy pt 1 bình phương rùi trừ pt 2 là ra cái vế trái ấy!!)

    Đến đây là ngon rùi!! Còn mình chưa tính kết quả chi tiết=>ngại!!nhưng chắc là không nhiều lắm vì k>0 rùi!!

    Hik ai sửa hộ tui cái hệ pt vs!!!tui không sửa nổi=>trình gà:((
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011

  20. Nhờ 1 câu, xin ít đất thôi ( sr Q3, sẵn thử sửa tex hộ Khánh mà :D )
    Cho tg ABC có [tex]3.\hat{A}+2.\hat{B}=180^o[/tex]. Prove: [tex]BC^2=AB(AB-AC)[/TEX]
    p/s: sr U, sửa mãi ứ đc. U gà tớ trứng =))
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng ba 2011