Toán [Toán 7] Nâng cao

[FireGhost1301]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính $\dfrac{A}{B}$ biết :
$A=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...$
$B=1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+...$

 

[toilatot]

B =1+ 1/3^2+1/5^2+1/7^2+...+1/(2n+1)^2 < 1+1/1.3+1/3.5+1/5.7+...+1/(2n-1)(2n+1)
= 1+1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)
= 1+1/2(1-1/(2n+1))
= 1+1/2 . 2n/(2n+1)
=1+ 2n/2(2n+1)

k² > k² - 1 = (k-1)(k+1)
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*)

Áp dụng (*), ta có:
A=1+1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² <1+ 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]
= 1+1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
= 1+1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2
= 1+2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 1+2/3

Mình chỉ biết những cái này thôi.