V
V
vipboycodon
Làm tiếp nào các bạn :
Tìm GTLN hoặc GTNN của :
$A = \dfrac{x^4+1}{(x^2+1)^2}$
$B = 4x^2+4x+3$
$C = \dfrac{3x^3+14}{x^2+4}$
Phân tích đa thức thành nhân tử :
$D = (x^2 + 4y^2 + 5)^2 - 16 ( x^2 y^2 +2xy +1)$
$E = x^3+6x^2+11x+6$
$F = x^5-5x^3+4x$
Tìm GTLN hoặc GTNN của :
$A = \dfrac{x^4+1}{(x^2+1)^2}$
$B = 4x^2+4x+3$
$C = \dfrac{3x^3+14}{x^2+4}$
Phân tích đa thức thành nhân tử :
$D = (x^2 + 4y^2 + 5)^2 - 16 ( x^2 y^2 +2xy +1)$
$E = x^3+6x^2+11x+6$
$F = x^5-5x^3+4x$
Last edited by a moderator:
K
khaiproqn81
Để em chém 1 câu
$B=4x^2+4x+3$
$B=4x^2+4x+1+2$
$B=(2x+1)^2+2$\geq$2$
Dấu "=" xảy ra khi $2x+1=0$
\Leftrightarrow $x = -0.5$
$B=4x^2+4x+3$
$B=4x^2+4x+1+2$
$B=(2x+1)^2+2$\geq$2$
Dấu "=" xảy ra khi $2x+1=0$
\Leftrightarrow $x = -0.5$
T
thaolovely1412
Chém câu E nhá
[TEX]E=x^3 + 6x^2 + 11x + 6 [/TEX]
[TEX]= x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6[/TEX]
[TEX]= x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x^2 + 5x + 6)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x^2 + 2x + 3x + 6)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)][/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x + 2)(x + 3)[/TEX]
[TEX]E=x^3 + 6x^2 + 11x + 6 [/TEX]
[TEX]= x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6[/TEX]
[TEX]= x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x^2 + 5x + 6)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x^2 + 2x + 3x + 6)[/TEX]
[TEX]= (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)][/TEX]
[TEX]= (x + 1)(x + 2)(x + 3)[/TEX]
T
thaolovely1412
Câu F đây
[TEX]F= x^5 - 5x^3 + 4x [/TEX]
[TEX]= x(x^4 -5x^2 + 4) [/TEX]
[TEX]= x[x^2( x^2 -1) - 4(x^2 - 1)] [/TEX]
[TEX]= x( x^2 - 1)(x^2 - 4) [/TEX]
[TEX]= (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) [/TEX]
[TEX]F= x^5 - 5x^3 + 4x [/TEX]
[TEX]= x(x^4 -5x^2 + 4) [/TEX]
[TEX]= x[x^2( x^2 -1) - 4(x^2 - 1)] [/TEX]
[TEX]= x( x^2 - 1)(x^2 - 4) [/TEX]
[TEX]= (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) [/TEX]
P
popstar1102
các bác chém hết câu dễ
$A=\frac{x^4+1}{(x^2+1)^2}$
\Leftrightarrow $A=\frac{2x^4+2}{2(x^2+1)^2}$
\Leftrightarrow $A=\frac{x^4+2x^2+1+x^4-2x^2+1}{2(x^2+1)^2}$
\Leftrightarrow $A=\frac{(x^2+1)^2}{2(x^2+1)}+\frac{(x^2-1)^2}{2(x^2+1)^2}$
\Leftrightarrow $A=\frac{1}{2}+\frac{(x^2-1)^2}{2(x^2+1}$\geq $\frac{1}{2}$
vậy $Min_A$ là $\frac{1}{2}$ \Leftrightarrow $x=\pm 1$
Last edited by a moderator:
0
0973573959thuy
$D = (x^2 + 4y^2 + 5)^2 - 16(x^2y^2 + 2xy + 1)$
$D = (x^2 + 4y^2 + 5)^2 - [4(xy + 1)]^2 = (x^2 + 4y^2 + 5 - 4xy - 4)(x^2 + 4y^2 + 5 + 4xy + 4) = [(x - 2y)^2 + 1][(x + 2y)^2 + 9]$
Chắc đến đây k phân tích tiếp dc nữa nhể ?
$D = (x^2 + 4y^2 + 5)^2 - [4(xy + 1)]^2 = (x^2 + 4y^2 + 5 - 4xy - 4)(x^2 + 4y^2 + 5 + 4xy + 4) = [(x - 2y)^2 + 1][(x + 2y)^2 + 9]$
Chắc đến đây k phân tích tiếp dc nữa nhể ?
H
hoamattroi_3520725127
Mn cùng làm một số bài bất đẳng thức nhé!
Mỗi bài các bạn có thể làm nhiều cách nha! BĐT hay là ở chỗ một bài có nhiều cách làm ấy
Bài 1 : Cho a,b,c > 0. CMR :
$a) (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 9$
$b) \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \ge 1,5$ (Nesbitt)
Bài 2 : Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :
$abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)$
Bài 3 : Đề bài tương tự bài 2. Nhưng a,b,c là 3 số dương chứ không phải là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Mỗi bài trên có ít nhất là 2 cách giải. Mn cứ tự do sáng tạo ra các cách làm hay mà ngắn nhé!
Mỗi bài các bạn có thể làm nhiều cách nha! BĐT hay là ở chỗ một bài có nhiều cách làm ấy
Bài 1 : Cho a,b,c > 0. CMR :
$a) (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 9$
$b) \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \ge 1,5$ (Nesbitt)
Bài 2 : Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :
$abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)$
Bài 3 : Đề bài tương tự bài 2. Nhưng a,b,c là 3 số dương chứ không phải là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Mỗi bài trên có ít nhất là 2 cách giải. Mn cứ tự do sáng tạo ra các cách làm hay mà ngắn nhé!
V
vipboycodon
Mn cùng làm một số bài bất đẳng thức nhé!
Mỗi bài các bạn có thể làm nhiều cách nha! BĐT hay là ở chỗ một bài có nhiều cách làm ấy
Bài 1 : Cho a,b,c > 0. CMR :
$a) (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 9$
$b) \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \ge 1,5$ (Nesbitt)
Bài 2 : Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :
$abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)$
Bài 3 : Đề bài tương tự bài 2. Nhưng a,b,c là 3 số dương chứ không phải là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Mỗi bài trên có ít nhất là 2 cách giải. Mn cứ tự do sáng tạo ra các cách làm hay mà ngắn nhé!
Bài 1 :
Cách 1 : Áp dụng bdt schwart ta có :
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$
=> đpcm
Cách 2 : $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 9$
Last edited by a moderator:
0
0973573959thuy
a) $C_3 : A = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + 1 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + 1 = 3 + (\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}) + (\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}) + (\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a})$
Ta có : $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2$ \forall $x,y > 0$ (1)
Thật vậy : $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy} \ge \dfrac{2xy}{xy} = 2$
Áp dụng bđt (1) với a,b,c > 0 (theo gt) có :
$A \ge 3 + 3.2 = 9 (dpcm)$
b) $C_1$ : http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2438261&postcount=2
$C_2 :$ Áp dụng bđt ở câu a : $(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \ge 9$ với x = b + c; y = a + c; z = a + b dc :
$2(a + b + c)(\dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{a + b}) \ge 9$
$\leftrightarrow \dfrac{a + b + c}{b + c} + \dfrac{a + b + c}{a + c} + \dfrac{a + b + c}{a + b} \ge 4,5$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} + 3 \ge 4,5$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \ge 1,5$
Giả sử $x,y,z > 0$
Ta có : $(x + y)^2 \ge 4xy$
$(y + z)^2 \ge 4yz$
$(x + z)^2 \ge 4xz$
Do 2 vế của các bđt trên đều không âm nên :
Nhân theo vế 3 bđt trên dc :
$[(x + y)(y + z)(x + z)]^2 \ge 64x^2y^2z^2 = [8xyz]^2$
Do các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên : $(x + y)(y + z)(z + x) \ge 8xyz$
Áp dụng bđt trên với x = a + b - c; y = b + c - a; z = a + c - b (x,y, z > 0 do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác) ta có :
8abc \geq 8(a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)
Chia 2 về bđt trên cho 8 dc dpcm.
Cách 2 : Tạm thời chưa nghĩ ra
0
0973573959thuy
$C_2 :$
Ta có :
$(a + b - c)(a + c - b) = a^2 - ( b - c)^2 \le a^2$
$(b + c - a)(b + a - c) = b^2 - (c - a)^2 \le b^2$
$(c + b - a)(c + a - b) = c^2 - (a - b)^2 \le c^2$
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên dc $[abc]^2 \ge [(a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)]^2$
Do hai vế của bđt luôn dương nên $abc \ge (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)$
B
binhminhmc
Nhờ các anh giúp em chứng minh đẳng thức này:
$\dfrac{y-z}{(x-y)(x-z)}$ + $\dfrac{z-x}{(y-z)(y-x)}$ + $\dfrac{x-y}{(z-x)(z-y)}$ = $\dfrac{2}{(x-y)}$ + $\dfrac{2}{(y-z)}$ + $\dfrac{2}{(z-x)}$
Cám ơn các anh.
$\dfrac{y-z}{(x-y)(x-z)}$ + $\dfrac{z-x}{(y-z)(y-x)}$ + $\dfrac{x-y}{(z-x)(z-y)}$ = $\dfrac{2}{(x-y)}$ + $\dfrac{2}{(y-z)}$ + $\dfrac{2}{(z-x)}$
Cám ơn các anh.
H
hoamattroi_3520725127
Chỉ cần anh giải k cần chị giải hả ><"
Thôi chuyển giới cũng dc =))
$\dfrac{y - z}{(x - y)(x - z)} = \dfrac{(x - z) - (x - y)}{(x - y)(x - z)} = \dfrac{1}{x - y} - \dfrac{1}{x - z}$
$\dfrac{z - x}{(y - z)(y - x)} = \dfrac{(y - x) - (y - z)}{(y - z)(y - x)} = \dfrac{1}{y - z} - \dfrac{1}{y - x}$
$\dfrac{x - y}{(z - x)(z - y)} = \dfrac{(z - y) - (z - x)}{(z - x)(z - y)} = \dfrac{1}{z - x} - \dfrac{1}{z - y}$
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên dc dpcm
Thôi chuyển giới cũng dc =))
$\dfrac{y - z}{(x - y)(x - z)} = \dfrac{(x - z) - (x - y)}{(x - y)(x - z)} = \dfrac{1}{x - y} - \dfrac{1}{x - z}$
$\dfrac{z - x}{(y - z)(y - x)} = \dfrac{(y - x) - (y - z)}{(y - z)(y - x)} = \dfrac{1}{y - z} - \dfrac{1}{y - x}$
$\dfrac{x - y}{(z - x)(z - y)} = \dfrac{(z - y) - (z - x)}{(z - x)(z - y)} = \dfrac{1}{z - x} - \dfrac{1}{z - y}$
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên dc dpcm
0
0973573959thuy
Đóng góp cho topic vài bài
$\fbox{Bài 1}$ : Tìm GTNN của các biểu thức :
$A = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 3$
$B = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 10y + 17$
$C = x^2 - xy + y^2 - 2x - 2y$
$D = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y$
$E* = 2x^2 + 2xy + 5y^2 - 8x - 22y$
$\fbox{Bài 2}$ : Tìm GTLN :
$A = |x - y| + |x - z| + |y - z|$
$0 \le x,y,z \le 3$
Gợi ý : Sắp thứ tự các biến
$\fbox{Bài 1}$ : Tìm GTNN của các biểu thức :
$A = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 3$
$B = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 10y + 17$
$C = x^2 - xy + y^2 - 2x - 2y$
$D = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y$
$E* = 2x^2 + 2xy + 5y^2 - 8x - 22y$
$\fbox{Bài 2}$ : Tìm GTLN :
$A = |x - y| + |x - z| + |y - z|$
$0 \le x,y,z \le 3$
Gợi ý : Sắp thứ tự các biến
Last edited by a moderator:
B
binhminhmc
Nhờ các anh chị giúp em bài thực hiện phép tính:
$x^3 + \left[\frac{x(2y^3-x^3)}{x^3+y^3}\right]^3-\left[\frac{y(2x^3-y^3)}{x^3+y^3}\right]^3$
Cám ơn các anh chị!
$x^3 + \left[\frac{x(2y^3-x^3)}{x^3+y^3}\right]^3-\left[\frac{y(2x^3-y^3)}{x^3+y^3}\right]^3$
Cám ơn các anh chị!
Last edited by a moderator:
V
vipboycodon
$A = 2x^2+y^2-2xy-2x+3$
= $x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+2$
= $(x-y)^2+(x-1)^2+2 \ge 2$
Vậy min = 2 khi $x = y = 1$.
= $x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+2$
= $(x-y)^2+(x-1)^2+2 \ge 2$
Vậy min = 2 khi $x = y = 1$.
R
rinsuke
P
phunha
A
anhbez9
vậy được,mình đăng nè:
cho a,b,c khác 0 và x,y,z thỏa mãn:[TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}[/TEX]
tính [TEX]T=x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}[/TEX]>-
cho a,b,c khác 0 và x,y,z thỏa mãn:[TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}[/TEX]
tính [TEX]T=x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}[/TEX]
>-
Last edited by a moderator:
T
thaolovely1412
vậy được,mình đăng nè:
cho a,b,c khác 0 và x,y,z thỏa mãn:[TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}[/TEX]
tính [TEX]T=x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}[/TEX]
[TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2=x^2+(\frac{a^2}{b^2})y^2+(\frac{a^2}{c^2})z^2+(\frac{b^2}{a^2})x^2+y^2+(\frac{b^2}{c^2})z^2+(\frac{c^2}{a^2})x^2+(\frac{c^2}{b^2})y^2+z^2 [/TEX] (nhân cả 2 vế với [TEX]a^2 + b^2 + c^2[/TEX])
\Leftrightarrow [TEX]\frac{b^2+c^2}{a^2}x^2+\frac{a^2+c^2}{b^2}y^2+\frac{a^2+b^2}{c^2}z^2 = 0 [/TEX](*)
Đặt [TEX]A=\frac{b^2+c^2}{a^2}x^2[/TEX]; [TEX]B=\frac{a^2+c^2}{b^2}y^2[/TEX];và[TEX] C=\frac{a^2+b^2}{c^2}z^2[/TEX]
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [TEX]\frac{b^2+c^2}{a^2}x^2 [/TEX]\Rightarrow [TEX]x^2=0 [/TEX]\Rightarrow x=0
Tương tự B=C=0 \Rightarrow[TEX] y^2=z^2=0 [/TEX]\Rightarrow y=z=0
Vậy [TEX]x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=0[/TEX]
P/s: Mik làm ra vầy nhưng liệu có đúng k nhỉ?