Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử (khó)

[khanhlop61nhe]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) A = a^2 – 10a + 25 – y^2 – 4yz – 4z^2
b) B = 4a^2 – 4ab + b^2 – 9a^2b^2
c) C = x^2y + xy^2 + zx^2 + z^2x + y^2z + yz^2 + 3xyz
d) D = bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
e) E = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc
f) F = (x-y)^3 + (y – z)^3 + (z – x)^3
Bài 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) x^2 – x – 12
b) x^2 + 8x + 15
c) x^2 – 6x – 16
d) x^3 – x2 + x + 3
Bài 3: Tìm x,y thoả mãn: x^2 + 4y^2 + z^2 = 2x + 12y – 4z – 14
Bài 4: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(a+d)(ab+cd)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)
Bài 6: Chứng minh rằng với x,y nguyên thì:
A = y^4 + (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) là số chính phương
Bài 7: Biết a – b = 7. Tìm giá trị biểu thức sau:
a^2(a + 1) – b^2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)




đây là link để xem các bài toán cho dễ, kẻo viết ^2 ntn thì khó xem https://picasaweb.google.com/lh/phot...full-exif=true
Nhờ giải dùm các bài toán này

 

[nguyenbahiep1]

Bài 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

[laTEX] a) x^2 – x – 12 \\ \\ b) x^2 + 8x + 15 \\ \\ c) x^2 – 6x – 16 \\ \\ d) x^3 – x^2 + x + 3[/laTEX]

câu a

[laTEX]x^2 -4x + 3x-12 = x(x-4) + 3(x-4) = (x+3)(x-4)[/laTEX]

câu b

[laTEX](x+3)(x+5)[/laTEX]

câu c

[laTEX](x-8)(x+2)[/laTEX]

câu d

[laTEX]x^3 +x^2 -2x^2 -2x +3x+3 = x^2(x+1) -2x(x+1) +3(x+1) \\ \\ (x+1)(x^2-2x+3) [/laTEX]

 

[harrypham]

Bài 4: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:[/B]
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(a+d)(ab+cd)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)
Bài 6: Chứng minh rằng với x,y nguyên thì:
A = y^4 + (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) là số chính phương
Bài 7: Biết a – b = 7. Tìm giá trị biểu thức sau:
a^2(a + 1) – b^2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)

Bài 5. Ta xét bài toán phụ sau:
Bài toán phụ. Chứng minh rằng [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX] khi và chỉ khi [TEX]a=b=c[/TEX] hoặc [TEX]a+b+c=0[/TEX].
(bạn có thể xem chứng minh của mình cho bài toán phụ này tại đây )

Quay lại bài toán ban đầu:
Vì [TEX]a+b+c=0[/TEX] nên [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^5+b^5+c^5+a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(a+c)=3abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^5+b^5+c^5-a^2b^2c-b^2c^2a-c^2a^2b=3abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^5+b^5+c^5-abc(ab+bc+ca)=3abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Lại vì [TEX]a+b+c=0 \Rightarrow (a+b+c)^2=0 \Rightarrow -2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2[/TEX].
Do đó [TEX]2(a^5+b^5+c^5)-2(ab+bc+ca)abc=6abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)+(a^2+b^2+c^2)abc=6abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX].

 

[hiensau99]

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) A = a^2 – 10a + 25 – y^2 – 4yz – 4z^2
b) B = 4a^2 – 4ab + b^2 – 9a^2b^2
c) C = x^2y + xy^2 + zx^2 + z^2x + y^2z + yz^2 + 3xyz
d) D = bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
e) E = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc
f) F = (x-y)^3 + (y – z)^3 + (z – x)^3
Bài 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) x^2 – x – 12
b) x^2 + 8x + 15
c) x^2 – 6x – 16
d) x^3 – x2 + x + 3
Bài 3: Tìm x,y thoả mãn: x^2 + 4y^2 + z^2 = 2x + 12y – 4z – 14
Bài 4: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(a+d)(ab+cd)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)
Bài 6: Chứng minh rằng với x,y nguyên thì:
A = y^4 + (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) là số chính phương
Bài 7: Biết a – b = 7. Tìm giá trị biểu thức sau:
a^2(a + 1) – b^2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)




đây là link để xem các bài toán cho dễ, kẻo viết ^2 ntn thì khó xem

https://picasaweb.google.com/lh/phot...full-exif=true
Nhờ giải dùm các bài toán này

Bài 1:

a) $ A = a^2 – 10a + 25 – y^2 – 4yz – 4z^2$
$= (a^2 – 10a + 25)-(y^2 + 4yz + 4z^2)$
$=(a-5)^2- (y+2z)^2 \\ = (a-5-y-2z)(a-5+y+2z)$

b) $B = 4a^2 – 4ab + b^2 – 9a^2b^2 = (2a-b)^2- (3ab)^2 = (2a-b-3ab)(2a-b+3ab)$

c) $C=x^2y + xy^2 + zx^2 + z^2x + y^2z + yz^2 + 3xyz$
$ = (x^2y + xy^2+xyz )+ (zx^2 + z^2x+xyz) + (y^2z + yz^2+xyz) $
$= xy(x+y+z)+xz(x+z+y)+yz(y+z+x) = (x+y+z)(xy+yz+xz)$

d, $D = bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) = b^2c+bc^2+c^2a-ca^2-a^2b-ab^2 $
$= b^2(c-a)+ ca(c-a) +b(c^2-a^2)= b^2(c-a)+ ca(c-a) +b(c-a)(c+a)$
$= (c-a)(b^2+ca+bc+ba)= (c-a)[(b^2+bc)+(ca+ba)]=(c-a)(b+a)(b+c)$

e, $E= a^3 + b^3 + c^3 – 3abc= (a+b)^3-3ab(a+b) +c^3-3abc= (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$
$= (a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ca-cb+c^2)-3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ca-cb+c^2-3ab)= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

f, $ F = (x-y)^3 + (y – z)^3 + (z – x)^3$
Đặt x-y=a, y-z = b, z-x=c Ta có: $a+b+c=0 \to a+b=-c \\ \to (a+b)^3=-c^3 \\ \to a^3+b^3+3ab(b+a)=-c^3 \\ \to a^3+b^3+c^3=-3ab(b+a) \\ \to a^3+b^3+c^3=3abc$

Vậy: $F=(x-y)^3 + (y – z)^3 + (z – x)^3=a^3+b^3+c^3= 3abc= 3(x-y)(z-x)(y – z)$

 

[goku123123]

bài 7: a^2(a+1)-b^2(b-1)+ab-3ab(a-b+1)
=a^3+a^2-b^3+b^2+ab-3a^2*b+3ab^2-3ab
=(a-b)^3+(a-b)^2
=7^3+7^2

 

[goku123123]

bài 3:x^2 +4y^2 +z^2=2x +12y -4z -14=0
=> x^2 +4y^2 +x^2 -2x -12y +14 +4z=0
=> (x^2 -2x +1)+(4y^2 -12y +9)+(z^2 +4z +4)=0
=>(x-1)^2 +(2y -3)^2 +(z+2)^2=0
Vì (x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x=1
(2y -3)^2 \geq 0 \Rightarrow y=1,5
(z+2)^2 \geq 0 \Rightarrow z=-2

 

[khanhlop61nhe]

Trước hết em cảm ơn mọi người
Tuy nhiên, em chưa làm ra bài 4,6,7.
Chiều thứ 5 này em phải nộp bài rồi, tức ngày 8/11/2012

 

[hiensau99]

Trước hết em cảm ơn mọi người
Tuy nhiên, em chưa làm ra bài 4,6,7.
Chiều thứ 5 này em phải nộp bài rồi, tức ngày 8/11/2012

$a + b + c + d = 0 \to b+c=-a-d \to (b+c)^3= -(a+d)^3 $

$\to b^3+c^3+3bc(b+c)= -a^3-d^3-3ad(a+d)$

$\to a^3+b^3+c^3+d^3= -3ad(a+d)-3bc(b+c)$

$\to a^3+b^3+c^3+d^3= -3ad(a+d)+3bc(a+d)$

$\to a^3+b^3+c^3+d^3= 3(a+d)(bc-ad)$

Đến đây bạn thử tìm cách CM: ab+cd= bc-ad đi. mình chịu oài =.=

Bài 6: $y^4 + (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)= y^4+(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)$

Đặt $x^2+5xy+4y^2=t$ ta có:

$y^4+t(t+2y^2)= y^4+2y^2t+t^2= (y^2+t)^2= (y^2+x^2+5xy+4y^2)= (x^2+5xy+5y^2)^2$

Vậy.....

Bài 7: $a^2(a + 1) – b^2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1) \\= a^3+a^2-b^3+b^2+ab-3ab(7+1)\\= (a-b)(a^2+b^2+ab)+a^2+b^2+ab-24ab\\= 7a^2+7b^2+7ab+a^2+b^2-23ab=8(a^2+b^2-2ab)\\=8(a-b)^2=8.49\\=392$