Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[duynhan1]

Bất đẳng thức, đẳng thức nhị trùng trong tam giác

• Nếu A, B, C là 3 góc của 1 tam giác thì : [TEX] \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}, \ \ \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}, \ \ \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} [/TEX]cũng là 3 góc của 1 tam giác.
  
  Vì : [tex] (\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2})+( \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2})+( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \pi[/tex]​
  [TEX]Va: \ \left{ \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}>0 \\ \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}>0 \\ \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}>0 \right. [/TEX]​
• DO đó nếu có 1 đẳng thức (hay bất đẳng thức ) đối xứng đối với các hàm số: sin, cos, cot, tan của các góc một tam giác thì có 1 đẳng thức( hay bất đẳng thức) mới khi thay [TEX]cos x \ boi \ sin (\frac{x}{2}) [/TEX], [TEX]sin x \ boi \ cos (\frac{x}{2}) [/TEX], [tex] tanx \ boi \ cot {\frac{x}{2} } [/tex], [tex] cotx \ boi \ tan {\frac{x}{2} } [/tex]
  Ví dụ:
• Có : [TEX]tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C[/TEX] thì ta phải có : [TEX]cot {\frac{A}{2} } + cot {\frac{B}{2}} + cot { \frac{C}{2}} =cot {\frac{A}{2} }. cot {\frac{B}{2}} .cot { \frac{C}{2}} [/TEX]
• Có : [TEX]sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX] thì ta phải có : [TEX]cos {\frac{A}{2} } + cos {\frac{B}{2}} + cos { \frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

BDT Jensen

 

[duynhan1]

Ta đi chứng minh các BDT trên :

1. [tex]\red cos A + cos B + cos C \le \frac32[/tex]
   Ta có :
   [TEX]cos A + cos B + cos C \\ = 2 sin {\frac{C}{2}}. cos {\frac{A-B}{2}} + 1 - 2 sin^2 {\frac{C}{2}}\\ = -2 ( sin {\frac{C}{2}} - \frac{cos {\frac{A-B}{2}}}{2})^2 + 1 - \frac{cos^2 {\frac{A-B}{2}}}{2} \le \frac32[/TEX]
   [TEX]"=" \Leftrightarrow A =B=C=60^o[/TEX]
2. [TEX]\red sin {\frac{A}{2}} + sin {\frac{B}{2}} +sin {\frac{C}{2}} \le \frac32 [/TEX] (theo BDT nhị trùng)
   Đối với 2 bài trên ta cũng có thể áp dụng BDT Jensen, cách làm tương tự bài dưới đây
3. [TEX] \red sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX]. Ta có :
   [TEX]sin A + sin B + sin C + sin {\frac{A+B+C}{3}} \\ \le 2.sin{\frac{A+B}{2}} + 2 sin {\frac{A+B+4C}{6}} (BDT\ JENSEN) \le 4. sin {\frac{2(A+B+C)}{6}} = \frac{4.\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX]
   [TEX]"=" \Leftrightarrow A=B = C = 60^o[/TEX]
4. [TEX]\red cos {\frac{A}{2}} + cos {\frac{B}{2}} +cos {\frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX] (theo BDT nhị trùng)
5. [TEX]\red tan A + tan B + tan C \ge 3\sqrt{3} [/TEX] ( với tam giác ABC nhọn)
   Ta có thể áp dụng ngay BDT Jensen hàm tan tương tự như 2 bài trên​
   Ngoài ra: Ta có hằng đẳng thức : [tex]tan A + tan B + tan C = tan A . tan B. tan C[/tex] nên ta có :​
   [TEX]tan A. tan B . tan C \ge 3 \sqrt[3]{ tan A. tan B. tanC} \Leftrightarrow tan A . tan B . tan C \ge 3\sqrt{3}\ \ \ hay\ \ \ tan A + tan B + tan C \ge 3\sqrt{3} [/TEX]
   ​
6. [TEX]\red cot{\frac{A}{2}} + cot {\frac{B}{2}} +cot {\frac{C}{2}} \ge 3\sqrt{3} [/TEX] với tam giác ABC nhọn. (theo BDT nhị trùng)
7. [tex] \red cot A + cot B + cot C \ge \sqrt{3}[/tex]
   Ta có: [tex] cot A. cot B + cot B . cot C + cot C. cot A =1 \Rightarrow (cot A + cot B + cot C)^2 \ge 3( cot A. cot B + cot B . cot C + cot C. cot A) = 3 \Rightarrow cot A + cot B + cot C \ge \sqrt{3}[/tex]
8. [tex]\red tan{\frac{A}{2}} + tan {\frac{B}{2}} +tan{\frac{C}{2}} \ge \sqrt{3} [/tex] (Theo BDT nhị trùng)
9. [tex] \red cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C \ge \frac34 [/tex]
   [tex] cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C \\ = 1 - cos C . cos ( A-B) + cos^2 C = (cos C - \frac{cos(A-B)}{2})^2 + 1 - \frac{cos^2(A-B)}{4}\ge \frac34 [/tex]
10. [tex]\red sin^2{\frac{A}{2}} + sin^2{\frac{B}{2}} +sin^2{\frac{C}{2}} \ge \frac34 [/tex] (theo BDT nhị trùng)
11. [tex] \red sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C \le \frac94 [/tex] ( để ý [tex] sin^2 \al = 1- cos^2 \al [/tex])
12. [tex]\red cos^2{\frac{A}{2}} + cos^2{\frac{B}{2}} +cos^2{\frac{C}{2}} \le \frac94 [/tex] (theo BDT nhị trùng)
13. [tex] \red tan^2 A + tan^2 B + tan^2 C \ge 9[/tex] ( với tam giác ABC nhọn)
14. [tex] \red cot^2A+ cot^2B+ cot^2 C \ge 1 [/tex]
    2 bất đẳng thức trên có thể chứng minh dễ dàng dựa vào các BDT số 5 và BDT số 7, kết hợp với BDT quen thuộc sau : [tex] a^2+b^2+c^2 \ge \frac13 (a+b+c)^2 [/tex]
15. [tex]\red cot^2{\frac{A}{2}} + cot^2{\frac{B}{2}} +cot^2{\frac{C}{2}} \ge 9 [/tex] ( theo BDT nhị trùng và BDT 11)
16. [tex]\red tan^2{\frac{A}{2}} + tan^2{\frac{B}{2}} +tan^2{\frac{C}{2}} \ge 9 [/tex] ( theo BDT nhị trùng và BDT 12)
17. [tex] \red cos A. cosB . cos C \le \frac18 [/tex]
    • Với tam giác ABC tù hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
    • Với tam giác ABC nhọn ta có :
      [tex] cos A . cos B . cos C \le (\frac{ cos A+ cos B + cosC}{3} )^3 \le \frac18 [/tex] ( xem lại BDT số 1)
18. [tex] \red sin {\frac{A}{2}} sin{\frac{B}{2}} sin{\frac{C}{2}} \le \frac18 [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
19. [tex] \red sin A . sin B . sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/tex]
    Do sin A, sin B, sin C là các số dương nên ta có :
    [TEX]sin A . sin B . sin C \le (\frac{sin A + sin B + sin C }{3} )^3 \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/TEX] ( xem lại BDT số 3 )
20. [tex] \red cos {\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
21. [tex]\red tan A . tan B . tan C \ge 3\sqrt{3},\ \ \Delta ABC\ \ nhon [/tex] ( đã chứng minh ở BDT số 5)
22. [tex] \red cot {\frac{A}{2}} cot{\frac{B}{2}} cot{\frac{C}{2}} \ge 3\sqrt{3},\ \ \Delta ABC\ \ nhon [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
23. [tex] \red cot A . cot B . cot C \le \frac{1}{3\sqrt{3}} \forall \Delta ABC [/tex]
    • Với tam giác ABC tù hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
    • Với tam giác ABC nhọn để ý : [tex] tan \al . cot \al =1 [/tex] nên từ BDT 21 ta có điều phải chứng minh.
24. [tex] \red tan {\frac{A}{2}} tan{\frac{B}{2}} tan{\frac{C}{2}} \le \frac{1}{3\sqrt{3}} \forall \Delta ABC [/tex] ( theo BDT nhị trùng)

Mọi góp ý về lời giải xin gửi về tin nhắn riêng cho mình !
Thank! .