Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Biến đổi đồng nhất

Thảo luận trong 'Tổng hợp' bắt đầu bởi taolmdoi, 20 Tháng bảy 2011.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 968

  1. taolmdoi

    taolmdoi Guest

    Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    Bài 1
    CM không tồn tại các số a,b,c thỏa mản đồng thời
    a/(a-b) + b/(b-c) + c/(c-a)=0
    và a/(a-b)^2 + b/(b-c)^2 + c/(c-a)^2=0


    Và mình muốn hỏi thêm 1 điều là ở bài trên, trong phần giải có câu
    - Giải sử ngược lại có a,b,c thoả mản cả 2 => a,b,c đôi một khác nhau (Vì sao?)
     
  2. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest


    Tui thử giải xem nha :D
    ĐKXĐ: a khác b khác c
    Ta có:
    [TEX]\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a} = 0[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - (\frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a})[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - \frac{bc - ba + cb - c^2}{(b - c)(c - a)}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} = \frac{ba + c^2 - 2bc}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    Tương tự có:
    [TEX]\frac{b}{(b - c)^2} = \frac{a^2 - 2ac + cb}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    [TEX]\frac{c}{(c - a)^2} = \frac{b^2 - 2ab + ac}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)}[/TEX]
    Áp dụng cô si có [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0[/TEX]Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c (không thoả mãn ĐKXĐ)
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)} ...khac...0[/TEX]
    \Rightarrow đpcm
    :):):):)
     
  3. taolmdoi

    taolmdoi Guest


    Nhân cả hai về của (1) với [TEX]\frac{1}{a-b)+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}[/TEX] có đk không
     
    Sửa lần cuối bởi BQT: 21 Tháng bảy 2011