Biến đổi đồng nhất

[taolmdoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
CM không tồn tại các số a,b,c thỏa mản đồng thời
a/(a-b) + b/(b-c) + c/(c-a)=0
và a/(a-b)^2 + b/(b-c)^2 + c/(c-a)^2=0

Và mình muốn hỏi thêm 1 điều là ở bài trên, trong phần giải có câu
- Giải sử ngược lại có a,b,c thoả mản cả 2 => a,b,c đôi một khác nhau (Vì sao?)

 

[khanhtoan_qb]

Bài 1
CM không tồn tại các số a,b,c thỏa mản đồng thời
a/(a-b) + b/(b-c) + c/(c-a)=0
và a/(a-b)^2 + b/(b-c)^2 + c/(c-a)^2=0

Và mình muốn hỏi thêm 1 điều là ở bài trên, trong phần giải có câu
- Giải sử ngược lại có a,b,c thoả mản cả 2 => a,b,c đôi một khác nhau (Vì sao?)

Tui thử giải xem nha
ĐKXĐ: a khác b khác c
Ta có:
[TEX]\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a} = 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - (\frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a})[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - \frac{bc - ba + cb - c^2}{(b - c)(c - a)}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} = \frac{ba + c^2 - 2bc}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
Tương tự có:
[TEX]\frac{b}{(b - c)^2} = \frac{a^2 - 2ac + cb}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{(c - a)^2} = \frac{b^2 - 2ab + ac}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)}[/TEX]
Áp dụng cô si có [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0[/TEX]Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c (không thoả mãn ĐKXĐ)
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)} ...khac...0[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[taolmdoi]

Nhân cả hai về của (1) với [TEX][FONT=Palatino Linotype][SIZE=3]\frac{1}{[/SIZE][/FONT]a-b)+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}[/TEX] có đk không