Bạn hãy ĐĂNG NHẬP để sử dụng nhiều chức năng hơn

Biến đổi đồng nhất

Thảo luận trong 'Tổng hợp' bắt đầu bởi taolmdoi, 20 Tháng bảy 2011.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 960

  1. taolmdoi

    taolmdoi Guest

    Sổ tay hướng dẫn sử dụng HMforum phiên bản mới


    Bài 1
    CM không tồn tại các số a,b,c thỏa mản đồng thời
    a/(a-b) + b/(b-c) + c/(c-a)=0
    và a/(a-b)^2 + b/(b-c)^2 + c/(c-a)^2=0


    Và mình muốn hỏi thêm 1 điều là ở bài trên, trong phần giải có câu
    - Giải sử ngược lại có a,b,c thoả mản cả 2 => a,b,c đôi một khác nhau (Vì sao?)
     
  2. khanhtoan_qb

    khanhtoan_qb Guest


    Tui thử giải xem nha :D
    ĐKXĐ: a khác b khác c
    Ta có:
    [TEX]\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a} = 0[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - (\frac{b}{b - c} + \frac{c}{c - a})[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{a - b} = - \frac{bc - ba + cb - c^2}{(b - c)(c - a)}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} = \frac{ba + c^2 - 2bc}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    Tương tự có:
    [TEX]\frac{b}{(b - c)^2} = \frac{a^2 - 2ac + cb}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    [TEX]\frac{c}{(c - a)^2} = \frac{b^2 - 2ab + ac}{(a - b)(b - c)(c - a)}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)}[/TEX]
    Áp dụng cô si có [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0[/TEX]Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c (không thoả mãn ĐKXĐ)
    \Rightarrow [TEX]\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{b}{(b - c)^2} + \frac{c}{(c - a)^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{(a - b)(b - c)(c -a)} ...khac...0[/TEX]
    \Rightarrow đpcm
    :):):):)
     
  3. taolmdoi

    taolmdoi Guest


    Nhân cả hai về của (1) với [TEX]\frac{1}{a-b)+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}[/TEX] có đk không
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng bảy 2011