Sự kiện "ĐIỂM DANH NGAY - NHẬN QUÀ LIỀN TAY" hạn chót 21h 31/08/16

Bạn hãy ĐĂNG NHẬP hoặc ĐĂNG KÝ tài khoản để tham gia nhé!

Bài tập chứng minh bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Tổng hợp' bắt đầu bởi hocgioivaopanh, 4 Tháng sáu 2013.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 2,478

  1. "Điểm danh ngay - Nhận quà liền tay" chào đón HMforum quay trở lại


    1) Chứng minh rằng không có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức:
    l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l

    2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
    [TEX]\frac{1}{a+b}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{b+c}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{c+a}[/TEX] cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác
     
  2. hiensau99

    hiensau99 Guest


    1. Giả sử có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l thì
    $l a-b l > l c l \leftrightarrow (a-b)^2 >c^2 \leftrightarrow (a-b-c)(a-b+c)>0$ (1)
    $ l b-c l > l a l \leftrightarrow (b-c)^2>a^2 \leftrightarrow (b-c-a)(b-c+a)> 0 (2)$
    $ |c-a l > l b l \leftrightarrow (c-a)^2>b^2 \leftrightarrow (c-a-b)(c-a+b)>0 (3) $
    Từ (1);(2);(3) ta có
    $(a-b-c)(a-b+c)(b-c-a)(b-c+a)(c-a-b)(c-a+b)>0$
    $\leftrightarrow [ -(a-b+c)^2][ -(b+c-a)^2][ -(a+b-c)^2]>0$
    $\leftrightarrow -(a-b+c)^2(b+c-a)^2](a+b-c)^2>0$
    Vô lí -> điều gs sai ->đpcm

    2. $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} - \dfrac{1}{c+a} = \dfrac{b(a+c-b)+a^2+c^2+ac}{(a+b)(c+a)(b+c)}>0$
    (Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)
    $\to \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{c+a}$

    CMTT ta có:
    $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{c+b}$
    $\dfrac{1}{c+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{a+b}$
    $\to đpcm$




     

  3. Bài 2 cách khác :

    $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}
    > \dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}$

    TT

    $\rightarrow dpcm$