Bài tập chứng minh bất đẳng thức

[hocgioivaopanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng không có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức:
l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l

2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
[TEX]\frac{1}{a+b}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{b+c}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{c+a}[/TEX] cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác

 

[hiensau99]

1. Giả sử có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l thì
$l a-b l > l c l \leftrightarrow (a-b)^2 >c^2 \leftrightarrow (a-b-c)(a-b+c)>0$ (1)
$ l b-c l > l a l \leftrightarrow (b-c)^2>a^2 \leftrightarrow (b-c-a)(b-c+a)> 0 (2)$
$ |c-a l > l b l \leftrightarrow (c-a)^2>b^2 \leftrightarrow (c-a-b)(c-a+b)>0 (3) $
Từ (1);(2);(3) ta có
$(a-b-c)(a-b+c)(b-c-a)(b-c+a)(c-a-b)(c-a+b)>0$
$\leftrightarrow [ -(a-b+c)^2][ -(b+c-a)^2][ -(a+b-c)^2]>0$
$\leftrightarrow -(a-b+c)^2(b+c-a)^2](a+b-c)^2>0$
Vô lí -> điều gs sai ->đpcm

2. $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} - \dfrac{1}{c+a} = \dfrac{b(a+c-b)+a^2+c^2+ac}{(a+b)(c+a)(b+c)}>0$
(Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)
$\to \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{c+a}$

CMTT ta có:
$\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{c+b}$
$\dfrac{1}{c+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{a+b}$
$\to đpcm$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2 cách khác :

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}
> \dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}$

TT

$\rightarrow dpcm$