Chào mừng bạn đến với HMForum. Vui lòng đăng ký để sử dụng nhiều chức năng hơn!

Bài tập chứng minh bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Tổng hợp' bắt đầu bởi hocgioivaopanh, 4 Tháng sáu 2013.

CHIA SẺ TRANG NÀY

Lượt xem: 2,481

  1. Đặt chỗ PEN 2017 - Cập nhật theo mọi thay đổi của kỳ thi THPT QG

    Đăng ký gia nhập BQT DIỄN ĐÀN


    1) Chứng minh rằng không có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức:
    l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l

    2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
    [TEX]\frac{1}{a+b}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{b+c}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{c+a}[/TEX] cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác
     
  2. hiensau99

    hiensau99 Guest


    1. Giả sử có các số a,b,c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức l a-b l > l c l; l b-c l > l a l ; l c-a l > l b l thì
    $l a-b l > l c l \leftrightarrow (a-b)^2 >c^2 \leftrightarrow (a-b-c)(a-b+c)>0$ (1)
    $ l b-c l > l a l \leftrightarrow (b-c)^2>a^2 \leftrightarrow (b-c-a)(b-c+a)> 0 (2)$
    $ |c-a l > l b l \leftrightarrow (c-a)^2>b^2 \leftrightarrow (c-a-b)(c-a+b)>0 (3) $
    Từ (1);(2);(3) ta có
    $(a-b-c)(a-b+c)(b-c-a)(b-c+a)(c-a-b)(c-a+b)>0$
    $\leftrightarrow [ -(a-b+c)^2][ -(b+c-a)^2][ -(a+b-c)^2]>0$
    $\leftrightarrow -(a-b+c)^2(b+c-a)^2](a+b-c)^2>0$
    Vô lí -> điều gs sai ->đpcm

    2. $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} - \dfrac{1}{c+a} = \dfrac{b(a+c-b)+a^2+c^2+ac}{(a+b)(c+a)(b+c)}>0$
    (Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)
    $\to \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{c+a}$

    CMTT ta có:
    $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{c+b}$
    $\dfrac{1}{c+b} + \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{a+b}$
    $\to đpcm$




     

  3. Bài 2 cách khác :

    $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}
    > \dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}$

    TT

    $\rightarrow dpcm$