N
ngaytoanvietnam
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
SỐ PHỨC
MỞ ĐẦU
Xét phương trình bậc hai [tex]f(x)=ax^2+bx+c=0(a\ne 0)[/tex]
Ta có [tex]\Delta =b^2-4ac[/tex]
TH1 : [tex]\Delta >0[/tex] pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
TH2: [tex]\Delta=0 [/tex] phương trình có nghiệm kiếp [tex]x_1=x_2=\frac{-b}{2a}[/tex]
Khi đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)^2[/tex] ( do [tex]x_1=x_2[/tex] )
TH3 : [tex]\Delta <0[/tex] pt VN và ta không thể phân tích f(x) thành tích . Nhưng thật tiện lợi nếu ta biểu diễn
được nghiệm của pt này qua đó phân tích được f(x) thành tích .Để giải quyết bài toán này người ta thêm vào R một
phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] và khi đó
[tex]\Delta =b^2-4ac=(4ac-b^2)i^2[/tex] ( do [tex] i^2=-1[/tex])
[tex]\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{4ac-b^2}i[/tex] ( do[tex]b^2-4ac<0 \Rightarrow 4ac-b^2>0[/tex] )
Lúc này pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
I.DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC :
Trong R ta thêm vào một phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] ( trong R không có phần tử nào thỏa điều kiện này cà )
khi đó số được viết dưới dạng z=a+bi với [tex]a,b\in R [/tex] gọi là số phức .
Tập số phức C={z|z=a+bi:a,b[tex]\in R[/tex]}
*Số phức z=a+bi thì a gọi là phần thực kí hiệu a=Re z , b gọi là phần ảo kí hiệu b=Im z
*Số phức z=a+bi gọi là số thực nếu b=0 , gọi là thuần ảo nếu a=0
*[tex] R\subset C[/tex] số thực là số phức với phần ảo bằng 0 .
Ví dụ :[tex]2-3i,\sqrt{2}+\sqrt{3}i,2,-3i[/tex] là các số phức trong đó 2 là số thực còn -3i là số thuần ảo .
ĐỊNH NGHĨA BẰNG NHAU :
*Hai số phức bằng nhau nếu chúng có phần thực gống nhau và phần ảo giống nhau .
Ví dụ :2+3i ≠ 3+2i
SỐ PHỨC LIÊN HỢP
*Hai số phức gọi là liên hợp nếu chúng có phần thực giống nhau và phần ảo đối nhau.
*z=a+bi thì số phực liên hợp của nó kí hiệu [tex]\bar z=a -bi[/tex]
MODUN CỦA SỐ PHỨC
Số phức z=a+bi thì Modun của nó kí hiệu [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2[/tex]
Ví dụ : [tex]z=2-\sqrt{3}[/tex] thì [tex]|z|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}[/tex]
*Ta có [tex]z.\bar z=|z |^2[/tex] là mội Số Thực
II.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
1.Phép trừ và cộng :
*Để cộng trừ hai số phức ta trừ phần thực với phần thực phần ảo với phần ảo .
Ví dụ : [tex]z_1=2+3i,z_2=1-2i[/tex]
[tex]z_1+z_2=2+3i+1-2i=2+1+(3-2)i=3+i[/tex]
[tex]z_1-z_2=(2+3i)-(1-2i)=2+3i-1+2i=1+5i[/tex]
2.Phép nhân
*Để nhân hai số phức ta nhân phân phối bình thường chú ý [tex]i^2=-1[/tex].
Ví dụ :[tex](1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5i[/tex]
3.Phép chia : Chia hai số phức a:b ( với điều kiện b khác 0 )
TH1 : Nếu b là số thực ra ngay kết quả
Ví dụ [tex]\frac{2+3i}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i[/tex]
TH2 : Nếu b không phải số thực ta nhân tử và mẫu cho liên hiệp của mẫu---> biến mẫu thành số thực
Ví dụ : [tex]\frac{1+2i}{2+3i}=\frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{8+i}{2^2+3^2}=\frac{8}{13}+\frac{1}{13}i[/tex]
4.Phép nâng lũy thừa số mũa nguyên : Với z ≠0 Tính [tex]z^n[/tex]
Qui ứoc : [tex]z^0=1[/tex]
TH1 : n nguyên dương ta khai triển nhị thức Newton như trong số thực chú ý :
[tex]i^2=-1,i^3=i^2.i=-i,i^4=i^2.i^2=-1.-1=1,i^5=i^4.i=i..................[/tex]
Ví dụ :
[tex](1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i[/tex]
[tex](1+2i)^3=1+6i+12i^2+8i^3=1+6i-12-8i=-11-2i[/tex]
[tex](1+2i)^4=1+8i+24i^2+32i^3+16i^4=1+8i-24-32i+16=-7-24i[/tex]
TH2 : n nguyên âm [tex]z^n=\frac{1}{z^{-n}}[/tex]
Ví dụ : [tex](1+2i)^{-2}=\frac{1}{(1+2i)^2}=\frac{1}{-3i+4}=\frac{-3-4i}{(-3+4i)(-3-4i)}=\frac{-3-4i}{9+16}=\frac{-3}{25}-\frac{4}{25}i[/tex]
Ví dụ : Tìm số phức z thỏa : [tex]z+\bar z=3+2i[/tex]
Đặt z=a+bi suy ra [tex]\bar z=a-bi[/tex] thế vào pt suy ra
a+bi +2a-2bi=3+2i [tex]\Rightarrow [/tex] 3a-bi=3+2i
[tex]\Rightarrow \left { 3a=3 \\ -b=2 [/tex] [tex]\Rightarrow \left { a=1 \\ b=-2[/tex]
Vậy số phức cần tìm z=1-2i
Đến đây đủ rồi không mọi người khó nhớ mai mốt tiếp tục còn đây là bài tập làm cho nhớ
Bài Tập :
Bài 1 : Hiện hiện các phép tính sau :
a. (3+5i)(4-i)
b.[tex]\frac{3-i}{4+5i}[/tex]
c.[tex](4-7i)^3[/tex]
d.(1+2i)(2-3i)(2+i)(3-2i)
e.[tex]\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}[/tex]
f.[tex]\frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}[/tex]
h.[tex]\frac{(1+i)^9}{1-i)^7}[/tex]
i.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2[/tex]
k.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3[/tex]
Bài 2 :giải các phương trình nghiệm phức
a.[tex]\bar z=-4z[/tex]
b.[tex]z^2+\bar z=0[/tex]
c.[tex]|z|-z=1+2i[/tex]
d.[tex]|z|+z=2+i[/tex]
Số phức cũng dễ nhỉ mấy bạn
MỞ ĐẦU
Xét phương trình bậc hai [tex]f(x)=ax^2+bx+c=0(a\ne 0)[/tex]
Ta có [tex]\Delta =b^2-4ac[/tex]
TH1 : [tex]\Delta >0[/tex] pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
TH2: [tex]\Delta=0 [/tex] phương trình có nghiệm kiếp [tex]x_1=x_2=\frac{-b}{2a}[/tex]
Khi đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)^2[/tex] ( do [tex]x_1=x_2[/tex] )
TH3 : [tex]\Delta <0[/tex] pt VN và ta không thể phân tích f(x) thành tích . Nhưng thật tiện lợi nếu ta biểu diễn
được nghiệm của pt này qua đó phân tích được f(x) thành tích .Để giải quyết bài toán này người ta thêm vào R một
phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] và khi đó
[tex]\Delta =b^2-4ac=(4ac-b^2)i^2[/tex] ( do [tex] i^2=-1[/tex])
[tex]\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{4ac-b^2}i[/tex] ( do[tex]b^2-4ac<0 \Rightarrow 4ac-b^2>0[/tex] )
Lúc này pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
I.DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC :
Trong R ta thêm vào một phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] ( trong R không có phần tử nào thỏa điều kiện này cà )
khi đó số được viết dưới dạng z=a+bi với [tex]a,b\in R [/tex] gọi là số phức .
Tập số phức C={z|z=a+bi:a,b[tex]\in R[/tex]}
*Số phức z=a+bi thì a gọi là phần thực kí hiệu a=Re z , b gọi là phần ảo kí hiệu b=Im z
*Số phức z=a+bi gọi là số thực nếu b=0 , gọi là thuần ảo nếu a=0
*[tex] R\subset C[/tex] số thực là số phức với phần ảo bằng 0 .
Ví dụ :[tex]2-3i,\sqrt{2}+\sqrt{3}i,2,-3i[/tex] là các số phức trong đó 2 là số thực còn -3i là số thuần ảo .
ĐỊNH NGHĨA BẰNG NHAU :
*Hai số phức bằng nhau nếu chúng có phần thực gống nhau và phần ảo giống nhau .
Ví dụ :2+3i ≠ 3+2i
SỐ PHỨC LIÊN HỢP
*Hai số phức gọi là liên hợp nếu chúng có phần thực giống nhau và phần ảo đối nhau.
*z=a+bi thì số phực liên hợp của nó kí hiệu [tex]\bar z=a -bi[/tex]
MODUN CỦA SỐ PHỨC
Số phức z=a+bi thì Modun của nó kí hiệu [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2[/tex]
Ví dụ : [tex]z=2-\sqrt{3}[/tex] thì [tex]|z|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}[/tex]
*Ta có [tex]z.\bar z=|z |^2[/tex] là mội Số Thực
II.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
1.Phép trừ và cộng :
*Để cộng trừ hai số phức ta trừ phần thực với phần thực phần ảo với phần ảo .
Ví dụ : [tex]z_1=2+3i,z_2=1-2i[/tex]
[tex]z_1+z_2=2+3i+1-2i=2+1+(3-2)i=3+i[/tex]
[tex]z_1-z_2=(2+3i)-(1-2i)=2+3i-1+2i=1+5i[/tex]
2.Phép nhân
*Để nhân hai số phức ta nhân phân phối bình thường chú ý [tex]i^2=-1[/tex].
Ví dụ :[tex](1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5i[/tex]
3.Phép chia : Chia hai số phức a:b ( với điều kiện b khác 0 )
TH1 : Nếu b là số thực ra ngay kết quả
Ví dụ [tex]\frac{2+3i}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i[/tex]
TH2 : Nếu b không phải số thực ta nhân tử và mẫu cho liên hiệp của mẫu---> biến mẫu thành số thực
Ví dụ : [tex]\frac{1+2i}{2+3i}=\frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{8+i}{2^2+3^2}=\frac{8}{13}+\frac{1}{13}i[/tex]
4.Phép nâng lũy thừa số mũa nguyên : Với z ≠0 Tính [tex]z^n[/tex]
Qui ứoc : [tex]z^0=1[/tex]
TH1 : n nguyên dương ta khai triển nhị thức Newton như trong số thực chú ý :
[tex]i^2=-1,i^3=i^2.i=-i,i^4=i^2.i^2=-1.-1=1,i^5=i^4.i=i..................[/tex]
Ví dụ :
[tex](1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i[/tex]
[tex](1+2i)^3=1+6i+12i^2+8i^3=1+6i-12-8i=-11-2i[/tex]
[tex](1+2i)^4=1+8i+24i^2+32i^3+16i^4=1+8i-24-32i+16=-7-24i[/tex]
TH2 : n nguyên âm [tex]z^n=\frac{1}{z^{-n}}[/tex]
Ví dụ : [tex](1+2i)^{-2}=\frac{1}{(1+2i)^2}=\frac{1}{-3i+4}=\frac{-3-4i}{(-3+4i)(-3-4i)}=\frac{-3-4i}{9+16}=\frac{-3}{25}-\frac{4}{25}i[/tex]
Ví dụ : Tìm số phức z thỏa : [tex]z+\bar z=3+2i[/tex]
Đặt z=a+bi suy ra [tex]\bar z=a-bi[/tex] thế vào pt suy ra
a+bi +2a-2bi=3+2i [tex]\Rightarrow [/tex] 3a-bi=3+2i
[tex]\Rightarrow \left { 3a=3 \\ -b=2 [/tex] [tex]\Rightarrow \left { a=1 \\ b=-2[/tex]
Vậy số phức cần tìm z=1-2i
Đến đây đủ rồi không mọi người khó nhớ mai mốt tiếp tục còn đây là bài tập làm cho nhớ
Bài Tập :
Bài 1 : Hiện hiện các phép tính sau :
a. (3+5i)(4-i)
b.[tex]\frac{3-i}{4+5i}[/tex]
c.[tex](4-7i)^3[/tex]
d.(1+2i)(2-3i)(2+i)(3-2i)
e.[tex]\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}[/tex]
f.[tex]\frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}[/tex]
h.[tex]\frac{(1+i)^9}{1-i)^7}[/tex]
i.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2[/tex]
k.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3[/tex]
Bài 2 :giải các phương trình nghiệm phức
a.[tex]\bar z=-4z[/tex]
b.[tex]z^2+\bar z=0[/tex]
c.[tex]|z|-z=1+2i[/tex]
d.[tex]|z|+z=2+i[/tex]
Số phức cũng dễ nhỉ mấy bạn
