HOCMAI Forum đã quay trở lại, MỚI MẺ - TRẺ TRUNG - NĂNG ĐỘNG
Hãy THAM GIA ngay

[toán 12] Làm quen với số phức

Thảo luận trong 'Số phức' bắt đầu bởi ngaytoanvietnam, 14 Tháng sáu 2008.

Lượt xem: 5,591

  1. Hướng dẫn Cách gõ công thức Toán học, Vật lý, Hóa học forum mới


    SỐ PHỨC

    MỞ ĐẦU

    Xét phương trình bậc hai [tex]f(x)=ax^2+bx+c=0(a\ne 0)[/tex]

    Ta có [tex]\Delta =b^2-4ac[/tex]

    TH1 : [tex]\Delta >0[/tex] pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

    Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

    TH2: [tex]\Delta=0 [/tex] phương trình có nghiệm kiếp [tex]x_1=x_2=\frac{-b}{2a}[/tex]

    Khi đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)^2[/tex] ( do [tex]x_1=x_2[/tex] )

    TH3 : [tex]\Delta <0[/tex] pt VN và ta không thể phân tích f(x) thành tích . Nhưng thật tiện lợi nếu ta biểu diễn

    được nghiệm của pt này qua đó phân tích được f(x) thành tích .Để giải quyết bài toán này người ta thêm vào R một

    phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] và khi đó

    [tex]\Delta =b^2-4ac=(4ac-b^2)i^2[/tex] ( do [tex] i^2=-1[/tex])

    [tex]\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{4ac-b^2}i[/tex] ( do[tex]b^2-4ac<0 \Rightarrow 4ac-b^2>0[/tex] )

    Lúc này pt có hai nghiệm phân biệt [tex]\left { x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

    Khí đó ta phân tích được f(x) thành tích [tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

    I.DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC :

    Trong R ta thêm vào một phần tử ảo i với [tex]i^2=-1[/tex] ( trong R không có phần tử nào thỏa điều kiện này cà )

    khi đó số được viết dưới dạng z=a+bi với [tex]a,b\in R [/tex] gọi là số phức .

    Tập số phức C={z|z=a+bi:a,b[tex]\in R[/tex]}

    *Số phức z=a+bi thì a gọi là phần thực kí hiệu a=Re z , b gọi là phần ảo kí hiệu b=Im z

    *Số phức z=a+bi gọi là số thực nếu b=0 , gọi là thuần ảo nếu a=0

    *[tex] R\subset C[/tex] số thực là số phức với phần ảo bằng 0 .

    Ví dụ :[tex]2-3i,\sqrt{2}+\sqrt{3}i,2,-3i[/tex] là các số phức trong đó 2 là số thực còn -3i là số thuần ảo .

    ĐỊNH NGHĨA BẰNG NHAU :

    *Hai số phức bằng nhau nếu chúng có phần thực gống nhau và phần ảo giống nhau .

    Ví dụ :2+3i ≠ 3+2i

    SỐ PHỨC LIÊN HỢP

    *Hai số phức gọi là liên hợp nếu chúng có phần thực giống nhau và phần ảo đối nhau.

    *z=a+bi thì số phực liên hợp của nó kí hiệu [tex]\bar z=a -bi[/tex]

    MODUN CỦA SỐ PHỨC

    Số phức z=a+bi thì Modun của nó kí hiệu [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2[/tex]

    Ví dụ : [tex]z=2-\sqrt{3}[/tex] thì [tex]|z|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}[/tex]

    *Ta có [tex]z.\bar z=|z |^2[/tex] là mội Số Thực

    II.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN

    1.Phép trừ và cộng :

    *Để cộng trừ hai số phức ta trừ phần thực với phần thực phần ảo với phần ảo .

    Ví dụ : [tex]z_1=2+3i,z_2=1-2i[/tex]

    [tex]z_1+z_2=2+3i+1-2i=2+1+(3-2)i=3+i[/tex]

    [tex]z_1-z_2=(2+3i)-(1-2i)=2+3i-1+2i=1+5i[/tex]

    2.Phép nhân

    *Để nhân hai số phức ta nhân phân phối bình thường chú ý [tex]i^2=-1[/tex].

    Ví dụ :[tex](1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5i[/tex]

    3.Phép chia : Chia hai số phức a:b ( với điều kiện b khác 0 )

    TH1 : Nếu b là số thực ra ngay kết quả

    Ví dụ [tex]\frac{2+3i}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i[/tex]

    TH2 : Nếu b không phải số thực ta nhân tử và mẫu cho liên hiệp của mẫu---> biến mẫu thành số thực

    Ví dụ : [tex]\frac{1+2i}{2+3i}=\frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{8+i}{2^2+3^2}=\frac{8}{13}+\frac{1}{13}i[/tex]

    4.Phép nâng lũy thừa số mũa nguyên : Với z ≠0 Tính [tex]z^n[/tex]

    Qui ứoc : [tex]z^0=1[/tex]

    TH1 : n nguyên dương ta khai triển nhị thức Newton như trong số thực chú ý :

    [tex]i^2=-1,i^3=i^2.i=-i,i^4=i^2.i^2=-1.-1=1,i^5=i^4.i=i..................[/tex]

    Ví dụ :

    [tex](1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i[/tex]

    [tex](1+2i)^3=1+6i+12i^2+8i^3=1+6i-12-8i=-11-2i[/tex]

    [tex](1+2i)^4=1+8i+24i^2+32i^3+16i^4=1+8i-24-32i+16=-7-24i[/tex]

    TH2 : n nguyên âm [tex]z^n=\frac{1}{z^{-n}}[/tex]

    Ví dụ : [tex](1+2i)^{-2}=\frac{1}{(1+2i)^2}=\frac{1}{-3i+4}=\frac{-3-4i}{(-3+4i)(-3-4i)}=\frac{-3-4i}{9+16}=\frac{-3}{25}-\frac{4}{25}i[/tex]

    Ví dụ : Tìm số phức z thỏa : [tex]z+\bar z=3+2i[/tex]

    Đặt z=a+bi suy ra [tex]\bar z=a-bi[/tex] thế vào pt suy ra

    a+bi +2a-2bi=3+2i [tex]\Rightarrow [/tex] 3a-bi=3+2i

    [tex]\Rightarrow \left { 3a=3 \\ -b=2 [/tex] [tex]\Rightarrow \left { a=1 \\ b=-2[/tex]

    Vậy số phức cần tìm z=1-2i

    Đến đây đủ rồi không mọi người khó nhớ mai mốt tiếp tục còn đây là bài tập làm cho nhớ

    Bài Tập :

    Bài 1 : Hiện hiện các phép tính sau :

    a. (3+5i)(4-i)

    b.[tex]\frac{3-i}{4+5i}[/tex]

    c.[tex](4-7i)^3[/tex]

    d.(1+2i)(2-3i)(2+i)(3-2i)

    e.[tex]\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}[/tex]

    f.[tex]\frac{(1-i)^5-1}{(1+i)^5+1}[/tex]

    h.[tex]\frac{(1+i)^9}{1-i)^7}[/tex]

    i.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2[/tex]

    k.[tex](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3[/tex]

    Bài 2 :giải các phương trình nghiệm phức

    a.[tex]\bar z=-4z[/tex]

    b.[tex]z^2+\bar z=0[/tex]

    c.[tex]|z|-z=1+2i[/tex]

    d.[tex]|z|+z=2+i[/tex]

    Số phức cũng dễ nhỉ mấy bạn
     

  2. Thực ra trong số phức không được kí hiệu căn bậc hai nhu thế nhưng đó là mở đầu ghi vậy dễ hình dung .
     
  3. alph@

    alph@ Guest


    Căn bậc hai cóc phải 1 số gì cả
    thực ra nó là một tập hợp gồm 2 phần tử đối nhau qua tâm 0 và thỏa bình phương của nó bằng số dưới căn!

    Căn bậc n của số phức là tập có n giá trị
     
  4. alph@

    alph@ Guest


    Mình xem lại nhiều rồi cũng không rõ đã nói sai chỗ nào mong bạn chỉ giáo!!?
    Ý mình đang nói đến sự đa trị của căn thức phức đó mà!! "Do căn bậc n của số phức có n giá trị cho nên căn số phức không được xem là hàm số sơ cấp!!" (Trích 'Đại số sơ cấp' -- Tác giả Đậu Thế Cấp)
     
  5. duonghr

    duonghr Guest


    có bác nào biết ứng dụng của số phức trong hình học phẳng ko
     
  6. alph@

    alph@ Guest


    Thì công thức hàm phức là các phép biến hình
    Phép vị tự tỉ số k
    f(z)=k.z với k là hằng số thực z là biến số phức
    Phép tịnh tiến
    f(z)=z+a với a là hằng số phức z là biến số phức
    Phép quay góc a
    f(z)=[tex]e^{I.a}.z=(cos(a)+I.sin(a)).(x+Iy)=x.cos(a)-y.sin(a)+I(y.cos(a)+x.sin(a))[/tex]
    Phép nghịch đảo
    f(z)=[tex]\frac{1}{z}[/tex]
    Và còn nhiều phép nữa như phép biến đường thẳng thành elip, thành hyperbol
    ,biến đường tròn thành đường thẳng (Nghịch đảo), ngoài ra còn phép biến hình quái đảng tùm lum tà la nữa@!!
     
  7. congacon22

    congacon22 Guest


    Số phức là một vấn đề mới, thực ra nếu nói khó thì vô cùng khó, còn nếu dễ thì vô cùng dễ. Do năm nay mới đưa Số phức vào chương trình nên sẽ thuộc loại vô cùng dễ.
    Chỉ cần học những phép biến đổi cơ bản của số phức là ok.
    Theo tôi nhớ là có 3 dạng (được học ở đh) :
    (khi làm phải luôn nhớ : i² = -1 )
    +Dạng thường :a +bi
    + Dạng mũ e : a*e^(ib)
    + Dạng cosin : r(cosΘ+ isinΘ)
    và còn 1 dạng rút gọn là dạng góc hình học: a /_Θ (hình như không đưa vào chương trình học)
    Rồi làm vài bài liên quan là không phải lo ngại gì về phần này. :D
     
  8. a_m

    a_m Guest


    bạn ơi, cho thêm bài tập đi :D.................................................
     
  9. kachia_17

    kachia_17 Guest



    Bài 1: CMR [TEX]\blue z=(1+2i)(2-3i)(2+1)(3-2i)[/TEX] là một số phức.

    Bài 2:Thực hiện phép tính:

    [tex]a, \blue \frac{1+itg\alpha}{1-itg\alph} \\ \\ b,\frac{a+bi}{a-bi} \\ \\ c,\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2} \\ \\ d,\frac{(1+i)^5-1}{(1+i)^5+1} \\ \\ e,\frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}[/tex]

    Tạm thế đã nhé .
     
  10. bong_mak

    bong_mak Guest


    phần phức nay minh hok đươc học
    nhưng đọc phần bạn viết thì cũng hiểu phần nào.
    nhưng chắc đây mới lllaf phần cơ bản.
    thank bạn nhiu
     
  11. vlcongtu

    vlcongtu Guest


    ai cho tui hoi trong pt bậc hai của số phức thì công thức Viet còn có thể áp dụng được với pt bậc 2 với hệ số phức ko????
    Nếu ko bài sau giải thế nào: Tìm số phức B để pt bậc 2 : z2+Bz+3i =0. Có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8! thank
     
  12. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest


    Hiển nhiên được chứ.......................................................50kt
     

  13. sao ko giải ra à?
    tớ cần biết lời giải để xem mình làm có đúng hay không.hjc.......hjc
     
  14. danger_demol

    danger_demol Guest


    Thế cái phần mặt phẳng toạ độ số phức có trong chương trình thi ĐH ko nhỉ ??
     

CHIA SẺ TRANG NÀY