Toán 12 $y=?$ sao cho mỗi $y$ có đúng 2 $x$ nguyên dương t/m $(\sqrt{4^{x}+1}-2^x)(\sqrt{y^2+1}+y)\ge 1$

[Phuocloi1998vn@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

có bao giá trị nguyên của y sao cho ứng với một giá trị y cho đúng 2 giá trị nguyên dương x thoả mãn
[tex](\sqrt{4^{x}+1}-2^{x})(\sqrt{y^{2}+1}+y)\geq 1[/tex]?
mn giúp em với ạ

 

[Alice_www]

có bao giá trị nguyên của y sao cho ứng với một giá trị y cho đúng 2 giá trị nguyên dương x thoả mãn
[tex](\sqrt{4^{x}+1}-2^{x})(\sqrt{y^{2}+1}+y)\geq 1[/tex]?
mn giúp em với ạ

$(\sqrt{4^x+1}-2^x)(\sqrt{y^2+1}+y)\geq 1$
$\Rightarrow (\sqrt{4^x+1}+2^x)(\sqrt{4^x+1}-2^x)(\sqrt{y^2+1}+y)\geq (\sqrt{4^x+1}+2^x)$
$\Rightarrow \sqrt{y^2+1}+y\geq \sqrt{4^x+1}+2^x$
Xét $f(x)=\sqrt{x^2+1}+x$
$\Rightarrow f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}> 0\quad \forall x$
Vậy f(x) đồng biến
Ta có $f(y)\geq f(2^x)\Rightarrow y\geq 2^x$
x nguyên dương $\Rightarrow 1\leq x \leq log_2y$
có đúng 2 giá trị x $\Rightarrow 2\leq log_2y<3\Rightarrow 4\leq y<8$
Có gì khúc mắc b hỏi lại nhé <3

 

[Phuocloi1998vn@gmail.com]

$(\sqrt{4^x+1}-2^x)(\sqrt{y^2+1}+y)\geq 1$
$\Rightarrow (\sqrt{4^x+1}+2^x)(\sqrt{4^x+1}-2^x)(\sqrt{y^2+1}+y)\geq (\sqrt{4^x+1}+2^x)$
$\Rightarrow \sqrt{y^2+1}+y\geq \sqrt{4^x+1}+2^x$
Xét $f(x)=\sqrt{x^2+1}+x$
$\Rightarrow f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}> 0\quad \forall x$
Vậy f(x) đồng biến
Ta có $f(y)\geq f(2^x)\Rightarrow y\geq 2^x$
x nguyên dương $\Rightarrow 1\leq x \leq log_2y$
có đúng 2 giá trị x $\Rightarrow 2\leq log_2y<3\Rightarrow 4\leq y<8$
Có gì khúc mắc b hỏi lại nhé <3

em chưa hỉu khúc có đúng 2 giá trị x sao ra 2<log2y... đó ạ

 

[Alice_www]

em chưa hỉu khúc có đúng 2 giá trị x sao ra 2<log2y... đó ạ

ta có $1\leq x\leq \log _2 y$

nếu $\log _2y=2$ thì $1\leq x\leq 2$ (có 2 giá trị $x$ thoả là $x=1$ và $x=2$)

$\log _2y<3$ thì $1\leq x\leq \log _2y<3$ (có 2 giá trị $x$ thoả là $x=1$ và $x=2$)

nếu $\log _2y=3$ thì $1\leq x\leq \log _2y=3$ (có 3 giá trị $x$ thoả là $x=1; x=2; x=3$) không thoả bài toán

tương tự với các số lớn hơn cũng thế

nếu $\log _2y$ càng lớn thì càng có nhiều $x$ thoả nhé