Toán 12 Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log_3 \dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$

[nguyenhoangphuc2304@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log_3 \dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P=x+y$
A. $P_\min = \dfrac{9\sqrt{11}+19}9$
B. $P_\min = \dfrac{18\sqrt{11}-29}9$
C. $P_\min = \dfrac{2\sqrt{11}-3}3$
D. $P_\min=\dfrac{9\sqrt{11}-19}9$

Giúp mình giải câu này được không ạ?

 

[Alice_www]

Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log_3 \dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P=x+y$
A. $P_\min = \dfrac{9\sqrt{11}+19}9$
B. $P_\min = \dfrac{18-\sqrt{11}-29}9$
C. $P_\min = \dfrac{2\sqrt{11}-3}3$
D. $P_\min=\dfrac{9\sqrt{11}-19}9$

Giúp mình giải câu này được không ạ?

ĐK $xy<1$
$\log_3\dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$

$\Rightarrow \log_3(1-xy)-\log_3(x+2y)=3(xy-1)+x+2y-1$

$\Rightarrow \log_3(1-xy)-3(xy-1)=\log_3(x+2y)+x+2y-1$

$\Rightarrow \log_3(1-xy)+3(1-xy)=\log_3\dfrac{x+2y}{3}+x+2y$

Xét $f(x)=\log_3x+3x$

$f'(x)=\dfrac{1}{x \ln3}+3>0\quad \forall x>0$

Vậy $f(x)$ đồng biến $\forall x>0$

Ta có $f(1-xy)=f\Big(\dfrac{x+2y}{3}\Big)$

Suy ra $1-xy=\dfrac{x+2y}{3}$

$\Rightarrow 3-3xy=x+2y\Rightarrow x(1+3y)=3-2y\Rightarrow x=\dfrac{3-2y}{1+3y}$

$P=x+y=\dfrac{3-2y}{1+3y}+y$

Từ đây là b đạo hàm r tìm được min P nhé
Có gì khúc mắc b hỏi lại nhé <3