Cho tam giác ABC . đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại M,N,P . Chứng minh rằng : AM,BN,CP đồng quy tại J và [tex](p-b)(p-c)\overrightarrow{JA}+(p-c)(p-a)\overrightarrow{JB}+(p-a)(p-b)\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}[/tex]
$NC+NA+MC+ME+PA+PB=a+b+c$
[tex]\Leftrightarrow 2NC+2NA+2PB=a+b+c \\ \Leftrightarrow NC+NA+PB=\frac{a+b+c}{2}=p[/tex]
Do đó, [tex]NC=CM=p-c \\ AN=AP=p-a \\ BP=BM=p-b[/tex]
Nối $CP$ cắt $BN$ tại $J$. Ta có: [tex]\frac{PA}{PB}=\frac{p-a}{p-b} \\ \frac{NA}{NC}=\frac{p-a}{p-c}[/tex]
Dựng $Ax//BN$ cắt $CP$ tại $D$
Ta có: [tex]\frac{DA}{JB}=\frac{PA}{PB}=\frac{p-a}{p-b}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{p-a}{p-b}\overrightarrow{JB}[/tex]
Dựng $Ay//CP$ cắt $BN$ tại $E$
Ta có: [tex]\frac{AE}{JC}=\frac{NA}{NC}=\frac{p-a}{p-c}\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\frac{p-a}{p-c}\overrightarrow{JC}[/tex]
Mà $ADJE$ là hình bình hành nên
[tex]\overrightarrow{A J}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{A J}=\frac{p-a}{p-b}\overrightarrow{JB}+\frac{p-a}{p-c}\overrightarrow{JC} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{p-a}\overrightarrow{JA}+\frac{1}{p-b}\overrightarrow{JB}+\frac{1}{p-c}\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}\overrightarrow{JA}+\frac{1}{p-b}\left ( \overrightarrow{JM} +\overrightarrow{MB}\right )+\frac{1}{p-c}\left ( \overrightarrow{JM}+\overrightarrow{MC} \right )=\overrightarrow{0} \ (*)[/tex]
Do $CM=p-c$, $BM=p-b$ nên
[tex]\frac{1}{p-b}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{p-c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex](*)\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}\overrightarrow{JA}+\left ( \frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )\overrightarrow{JM}=\overrightarrow{0}[/tex]
Do đó, $A, J, M$ thẳng hàng hay $A J$ đi qua $M$
Vậy $AM, BN, CP$ đồng quy tại $J$ và [tex](p-b)(p-c)\overrightarrow{JA}+(p-c)(p-a)\overrightarrow{JB}+(p-a)(p-b)\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
