Trước hết cô lập $(x+y)$ và $xy$ sang 2 vế:
[tex]10^{\frac{10}{x+y}}.\frac{1}{x+y}=(1+\frac{1}{xy}).10^{\frac{1}{xy}}[/tex]
Đến đây để ý tí thì ta nhân 10 vào 2 vế là có HĐT:
[tex]10^{\frac{10}{x+y}}.\frac{10}{x+y}=(1+\frac{1}{xy}).10^{\frac{1}{xy}+1}[/tex]
Xét hàm [tex]y=t.10^t\\y'=10^t+t.ln10.10^t>0 \forall t>0[/tex]
Nên ta có: [tex]\frac{10}{x+y}=1+\frac{1}{xy}\\\Leftrightarrow 10xy=(xy+1)(x+y)\\\Leftrightarrow (xy+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=10\\\Leftrightarrow x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10\\\Leftrightarrow y+\frac{1}{y}=10-x-\frac{1}{x}\geq 2(AM-GM)\\\Leftrightarrow y^2-(10-x-\frac{1}{x})y+1=0\\\Delta =(10-x-\frac{1}{x})^2-4\geq 0[/tex]
Do không tồn tại $x \in N^*$ dể PT $(*)$ có nghiệm kép nên ứng với mỗi giá trị của $(x+\frac{1}{x})$ sẽ có 2 giá trị $y>0$ (PT $(*)$ có 2 nghiệm thì 2 nghiệm đó luôn dương ạ, chứng minh thì ta dùng Viète)
Lại có thêm đánh giá nữa: [tex]x+\frac{1}{x}=10-\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\Rightarrow 2\leq x+\frac{1}{x}\leq 8[/tex]
Do $x \in N^*$ nên [tex]x=\begin{Bmatrix} 1;2;3;4;5;6;7 \end{Bmatrix}[/tex] , mỗi $x$ cho 1 giá trị của $(x+\frac{1}{x})$ , mỗi giá trị của $(x+\frac{1}{x})$ sẽ cho 2 giá trị của y
Nên có 14 cặp $(x;y)$ thỏa đề
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
