Toán 9 Ước nguyên tố của một số

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi Cheems, 9 Tháng chín 2021.

Lượt xem: 216

  1. Cheems

    Cheems Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    510
    Điểm thành tích:
    101
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS ko noi
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Mong mn giúp gấp ạ ! Làm văn tắt thôi cũng được ạ ! BTVN 9T0 Số 04.09.jpg
     

    Các file đính kèm:

    huyenhuyen5a12Duy Quang Vũ 2007 thích bài này.
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,833
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    2. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]p \geq q \geq r[/TEX]
    Ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} q+n \vdots rp\\ r+n \vdots pq \end{matrix}\right.\Rightarrow (q+n)-(r+n) \vdots p \Rightarrow q-r \vdots p[/tex]
    Vì [TEX]p \geq q \geq r \Rightarrow 0 \leq q-r < p \Rightarrow q=r[/TEX]
    Từ đó [tex]\frac{p+n}{qr}=\frac{p+n}{q^2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n+p \vdots q^2 \Rightarrow n=kq^2-p[/tex]
    [TEX]\frac{q+n}{rp}=\frac{q+kq^2-p}{pq} \in \mathbb{Z} \Rightarrow kq^2+q-p \vdots pq \Rightarrow kq^2+q-p \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q[/TEX](đpcm)
    3. Để cho gọn ta chỉ xét [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương. Đặt [TEX]d=\frac{2n^2}{k}[/TEX]
    Ta có: [tex]n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2.\frac{k+2}{k}=\frac{n^2}{k^2}.(k^2+2k)[/tex]
    Để [TEX]n^2+d[/TEX] là số chính phương thì [TEX]k^2+2k[/TEX] là số chính phương. Mà [TEX]k^2 < k^2+2k<(k+1)^2[/TEX] nên ta có đpcm.
    4. Nhận thấy [tex](n,n+1)=1[/tex] nên [TEX]n+24[/TEX] phải chứa tất cả các ước nguyên tố của [TEX]n[/TEX]
    Mà [TEX](n,n+24)=(24,n) [/TEX] là ước của [TEX]24 \Rightarrow n=2^x.3^y[/TEX]
    Từ đó [tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=2^x.3^y.(2^x.3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(2^x.3^y+1)(2^x.3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
    Ta thấy: [TEX]n+9,n+1[/TEX] phải có ít nhất 1 ước nguyên tố chung, giả sử là [TEX]p[/TEX].
    Khi đó nếu [TEX]x \neq 0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^x.3^y+1 \vdots p\\ 2^x.3^y+9 \vdots p \end{matrix}\right. \Rightarrow 8 \vdots p \Rightarrow p=2\Rightarrow 1 \vdots p[/tex](mâu thuẫn)
    Vậy [TEX]x=0 \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} n(n+9)=3^y(3^y+9)\\ (n+1)(n+24)=(3^y+1)(3^y+24) \end{matrix}\right.[/tex]
    Gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố của [TEX]3^y+1[/TEX]
    Vì 2 số trên chung tập ước nguyên tố, [TEX](3^y,3^y+1)=1[/TEX] nên [TEX]3^y+9 \vdots d \Rightarrow 8 \vdots d \Rightarrow d=2[/TEX]
    Từ đó [TEX]3^y+1=2^z[/TEX]
    Với [TEX]y=0 \Rightarrow z=1 \Rightarrow n=1[/TEX]
    Với [TEX]y \geq 1\Rightarrow 2^z \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow z \vdots 2[/TEX]
    Đặt [TEX]z=2t \Rightarrow 3^y=2^{2t}-1=(2^t-1)(2^t+1) \Rightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 2^t-1=3^m\\ 2^t+1=3^n \end{matrix}\right.\Rightarrow 3^n-3^m=2 \Rightarrow m=0 \Rightarrow n=1 \Rightarrow y=m+n=1 \Rightarrow n=3[/tex]
    Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=3[/TEX].

    Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi ngay tại topic này nhé.
     
    iceghost, phamkimcu0ng, kido20063 others thích bài này.
  3. Cheems

    Cheems Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    510
    Điểm thành tích:
    101
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS ko noi

    Cho em hỏi câu 2 ạ
    Tại sao mk lại phải đi cm q-r chia hết cho p ạ ?
     
  4. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,833
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Khi sắp xếp biến thì ta có [TEX]q,r \leq p[/TEX] nên nếu ta chứng minh được một biểu thức liên quan [TEX]q-r[/TEX] thì ta sẽ chứng minh được [TEX]q=r[/TEX]
     
    kido2006 thích bài này.
  5. Cheems

    Cheems Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    510
    Điểm thành tích:
    101
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS ko noi

    Nếu thế thì p > q-r ( G sử ) còn lại là q-r > p => p = q-r chứ ạ ?
     
  6. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,833
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Nếu [TEX]q-r > p[/TEX] thì không chứng minh được [TEX]q-r=p[/TEX] nhé. Khi đó thì ta chỉ đặt được [TEX]q-r=kp(k>0)[/TEX] thôi.
    Vì vậy cho nên ta cố gắng sử dụng giả thiết sắp xếp sao cho có lợi nhất có thể.
     
    kido2006 thích bài này.
  7. Cheems

    Cheems Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    510
    Điểm thành tích:
    101
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS ko noi

    Chị trình bày kỹ lại bài 2 được không ạ , em thấy khó hiểu quá ạ :(

    Cho em hỏi bài 4 là tại sao d=2 thì 3^y+1 = 2^z ạ ?
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng chín 2021
  8. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,833
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Em thấy khó hiểu chỗ nào vậy nhỉ?
    Bởi vì ta đang gọi [TEX]d[/TEX] là một ước nguyên tố bất kỳ của [TEX]3^y+1[/TEX] nên nếu [TEX]d=2[/TEX] thì [TEX]3^y+1[/TEX] chỉ có ước nguyên tố duy nhất là 2, nên [TEX]3^y+1[/TEX] có dạng [TEX]2^z[/TEX]
     
    phamkimcu0ng, kido2006Duy Quang Vũ 2007 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY