(bài này hình rất dễ vẽ, nên dành cho bạn).
Trước hết ta có một mệnh đề nhỏ sau: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX] khi và chỉ khi [TEX]\widehat{C}=30^o[/TEX]
(sẽ chứng minh sau)
Chứng minh mệnh đề.
+ Điều kiện cần: [TEX]\bigtriangleup ABC[/TEX] vuông tại A. Cho [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX]. Chứng minh [TEX]\widehat{C}=30^o[/TEX]
(tự vẽ hình)
Giải. Trên tia đối tia AB lấy K sao cho AB=AK.
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup BKC[/TEX] cân tại B (1)
Dễ chứng minh [TEX]\bigtriangleup CAB= \bigtriangleup CAK[/TEX] (c.g.c)
[TEX]\Rightarrow BC=CK \Rightarrow \bigtriangleup BKC[/TEX] cân tại C (2)
Từ (1) và (2) suy ra [TEX]\bigtriangleup BKC[/TEX] đều [TEX]\Rightarro[TEX][/TEX]w \widehat{B}=60^o \Rightarrow \widehat{C}=30^o[/TEX] (đpcm)
+ Điều kiện đủ: [TEX]\bigtriangleup ABC[/TEX] vuông tại A. Cho [TEX]\widehat{C}={30^o}[/TEX]. Chứng minh [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX].
Giải. Lấy điểm M trên BC sao cho AM=AB.
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup ABM[/TEX] cân tại A, [TEX]\widehat{C}=30^o \Rightarrow \widehat{B}=60^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AMB[/TEX] đều.
[TEX]\Rightarrow AM=BM=AB \ \ \ \ \ (1)[/TEX]
[TEX]\widehat{BAM}=60^o \Rightarrow \widehat{MAC}=30^o= \widehat{C}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup MAC[/TEX] cân ở M
[TEX]\Rightarrow AM=MC \ \ \ \ \ \ (2)[/TEX]
Từ (1),(2) suy ra [TEX]AB= \frac{1}{2} (BM+AM)= \frac{1}{2}(BM+MC) \Rightarrow AB= \frac{1}{2}BC[/TEX] (đpcm)
Giải bài toán. Quay lại bài toán
Xét [TEX]\bigtriangleup ABH[/TEX] vuông ở H và [TEX]\widehat{B}=60^o \Rightarrow \widehat{BAH}=30^o[/TEX]. Như vậy áp dụng mệnh đề thì ta có [TEX]BH= \frac{1}{2} AB= 2,5 cm[/TEX].
Tiếp tục xét [TEX]\bigtriangleup AHB[/TEX] vuông tại H, theo Pitago thì [TEX]BH^2+AH^2=AB^2 \Rightarrow (2,5)^2+AH^2=5^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AH^2=18,75 \Rightarrow AH= \sqrt{18,75}[/TEX].
Do [TEX]BH+HC=BC \Rightarrow HC=8-2,5=5,5[/TEX] (cm).
Xét [TEX]\bigtriangleup AHC[/TEX] vuông tại H nên theo Pitago thì [TEX]HC^2+AH^2=AC^2 \Rightarrow (5,5)^2+ (\sqrt{18,75})^2=AC^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AC^2=49 \Rightarrow AC= \fbox{7}[/TEX] (cm).
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn