Toán dành cho hsg lớp 8: Hình chữ nhật

[hocattuong2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BC tại E. Chứng minh BE=2.CD
2) Cho tam giác ABC cân tại A. Từ 1 điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB, AC tại E và F. Vẽ hình chữ nhật BDEH và CDFK. CMR: A là trung điểm HK
3) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Gọi I và O là trung điểm của AB và IC. CMR IC=2.MO và tính góc BMK
P/s: Mời các bạn thử sức

 

[nhuquynhdat]

hình tự kẻ nhá

Bài 1

Gọi M là trung điểm của BE

$\Delta BDE$ vuông tại D $\Longrightarrow DM$ là trung tuyến $ DM=\dfrac{1}{2}BE$

$\Longrightarrow DM=BM \Longrightarrow \widehat{MBD}=\widehat{MDB}$

Mà $\widehat{MBD}=\widehat{ABD}(gt) \Longrightarrow \widehat{ABD}=\widehat{MDB} \Longrightarrow AB//DM \Longrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{DMC}$

mà $\widehat{ABC}=\widehat{MCD}$ ( góc đáy tam giác cân)

$\Longrightarrow \widehat{DMC}=\widehat{MCD} \Longrightarrow \Delta DMC$ cân tại D $\Longrightarrow DM=CD \Longrightarrow CD=\dfrac{1}{2} BE \Longrightarrow BE=2CD$


Bài 2

Gọi O là giao điểm của HD và BE; I là giao điểm của FC và CK

Ta có: $\widehat{IDC}=\widehat{ICD}$( tính chất hcn)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB} \Longrightarrow \widehat{IDC}=\widehat{ABC} \Longrightarrow AB//ID \Longrightarrow AD//ID$

Tương tự CM: $AI//OD \Longrightarrow AODI$ là hình bình hành

$\Longrightarrow AI=OD \Longrightarrow AI=HO(=OD)$

$AI//OD \Longrightarrow AI//HO \Longrightarrow AHOI$ là hình bình hành

$\Longrightarrow AH//OI$ (1)

$AH=OI$ (2)

Tương tự CM: AKIO là hình bình hành $\Longrightarrow AK//OI$ (3)

$AK=OI$ (4)

Từ (1) và (3) $\Longrightarrow $ A, H K thẳng hàng

Từ (2) và (4) $\Longrightarrow AH=AK$

$\Longrightarrow đpcm$

Bài 3

a) Xét $\Delta ABH$ có: $AI=BI(gt); AM=HM(gt) \Longrightarrow MI//BH$

Mà $BH \perp AC \Longrightarrow MI \perp AC \Longrightarrow \widehat{IMC}=90^o \Longrightarrow \Delta IMC$ vuông tại M

Do O là trugn điểm của IC $\Longrightarrow OM$ là trung tuyến $\Longrightarrow OM=\dfrac{1}{2} IC \Longrightarrow IC=2OM$

b)Kẻ $MP \perp BC$ cắt BH tại E $\Longrightarrow$ E là trực tâm $\Delta BCM$

$\Longrightarrow CE \perp BM$ (*)

Mặt khác, ta có:

$MP \perp BC; DC \perp BC \Longrightarrow ME //KC$ (1)

$ME//CK \Longrightarrow ME//AC; AM=HM \Longrightarrow ME$ là dường trung bình $\Delta ABH \Longrightarrow ME =\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD \Longrightarrow ME=CK$ (2)

Từ (1) và (2) $\Longrightarrow BECK$ là hình bình hành $\Longrightarrow ME//MK$ (*) (*)

Từ (*) và (*) (*) $\Longrightarrow MK \perp MB \Longrightarrow \widehat{BMK}=90^o$