Toán [Toán 9] Tổng hợp phương trình nghiệm nguyên

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi jupiter994, 5 Tháng tư 2009.

Lượt xem: 53,448

?

Bạn thấy pic này có ích?

  1. 89.1%
  2. Không

    10.9%

  1. jupiter994

    jupiter994 Guest

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Tổng hợp phương trình nghiệm nguyên trong box Toán 9

    Các mem tham gia đông đảo nhé! Bởi vì mỗi bài toán được các bạn giải trong đây sẽ giúp diễn đàn mình bớt đi những câu hỏi còn tồn đọng, thanh toán được những dấu chấm hỏi đỏ đáng ghét =.= Bạn nào tham gia trả lời (không phải SPAM!) mình sẽ thanks bạn đó 1 lần, nếu đó là câu trả lời đúng mình sẽ thanks 5 lần luôn! ;)

    Cám ơn tất cả các bạn!

    Start!

    nguyengiahoa10
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng ba 2013
  2. jupiter994

    jupiter994 Guest

    [Toán 9]Phương trình nghiệm nguyên

    CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG
    Phương Pháp 1 : Phát hiện tính chia hết của 1 ẩnVD1: Giải Phương trình với nghiệm nguyên
    [tex]3x +17y=159[/tex]
    Giải
    Giả sử x,y là các số thỏa mã phương trình trên , ta thấy
    *159 chia hết cho 3
    * 3x chia hết cho 3
    => 17y chia hết cho 3
    => y chia hết cho 3
    Dặt y =3t ( t thuộc Z) thay vào PT ta cs
    3x + 17.3t =159
    <=> x+17t =53
    Do đó x=53 -17t
    => y=3t
    Đảo lại : Thay các biểu thức của x,y vào PT được nghiệm đúng
    Vậy PT có vô số nghiệm (x,y) được biểu thị bởi công thức
    x=53-17t
    y=3t
    Phương Pháp 2 :Đưa phương trình ước số
    VD2 : tìm nghiệm nguyên của Phương trình
    xy-x-y =2
    Giải : biến đổi Phương trình thành
    x(y-1)-(y-1)=3
    <=> (y-1)(x-1)=3
    Ta gọi phương trình trên là " Phương trình ước số": vế trái là một tích các thừa số nguyên , vế phải là một hằng số . Ta có x,y là các số nguyên nên x-1,y-1 là các số nguyên và là Ư(3)
    Lập bảng ra và tìm nghiệm ta được các nghiệm sau :(4,2);(2,4);(0,-2);(-2,0)
    Phương pháp 3 : tách các giá trị nguyên
    VD 3 : tìm nghiệm nguyên của các phương trình
    xy-x-y=2
    Giải Biểu thị x theo y từ phương trình đã cho được
    x(y-1) =y+2
    ta thấy y khác 1 vì nếu y=1 thì 0x =3 (vô lý)
    => [tex]x= \frac{y+2}{y-1}[/tex]
    =>[tex]x= 1+ \frac{3}{y-1}[/tex]
    x nguyên => y-1 là ước của 3
    => nghiệm phương trình là :(4,2);(2,4);(0,-2);(-2,0)
    Phương pháp 4 : Xét sô dư của tùng vế
    VD4 : a/[tex]x^2 - y^2 =1998[/tex]
    b/[tex]x^2 + y^2 =1999[/tex]
    Giải
    a/ ta thấy [tex]x^2,y^2[/tex] chia cho 4 chỉ dư 0,1
    nên [tex]x^2 -y^2[/tex] chia cho 4 có số dư là 0,1,3 . còn vế phải chia 4 dư 2
    => Phương trình kô có nghiệm nguyên
    b/ ta thấy [tex]x^2 +y^2[/tex] chia cho 4 có số dư 0,1,2 . còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3
    => PT kô có nghiệm nguyên
    Phương Pháp 5 : Dùng bất đẳng thức
    VD5 : tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích cảu chúng
    Giải Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z .Ta có
    x+y+z =xyz(1)
    chú ý nhá , các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng nên có thế "Sắp thức tự các ẩn" .Giả dụ
    [tex]1 \leq x \leq y \leq z[/tex]
    Do đó [tex]xyz=x+y+z \leq 3z[/tex]
    Chia 2 vế của Bất đẳng thức cho z ta được [tex]xy \leq 3[/tex]
    do đó xy =\thuộc{1,2,3}
    * với xy=1 ta có x=1,y=1 thay vào (1) được 2+z=z ( loại)
    *Với xy=2 ta có x=1,y=2 . Thay vào (1) được z=3
    *Với xy=3 tacó x=1,y=3 , thay vào (1) được z=2 (loại)
    vậy 3 số phải tìm là 1,2,3
    Phương Pháp 6:Chỉ ra nghiệm nguyên
    Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn còn đượcthể hiện dưới dạng : Chỉ ra môt vài số là nghiệm nguyên của PT , rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất
    VD 6 [tex]2^x +3^x=5^x[/tex]
    Giải Viết Phương trình dưới dạng
    [tex](\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x =1[/tex]
    xét x=0 => loại
    xét x=1=> đúng
    Với [tex]x \geq 2[/tex]
    => [tex](\frac{2}{5})^x \leq \frac{2}{5}[/tex]
    [tex](\frac{3}{5})^x \leq \frac{3}{5}[/tex]
    [tex]\frac{2}{5})^x + \frac{3}{5})^x < 1[/tex]
    => x=1
    Phương Pháp 7 : Sử dụng tính chát của sô chình phương
    VD7 : Tìm các nghiệm nguyên của Phương trình
    [tex]2x^2 + 4x =19-3y^2[/tex]
    Giải : ta có [tex]2x^2 +4x=19-3y^2 <=> 2(x+1)^2=3(7-y^2)[/tex]
    Ta thấy[tex]7-3y^2[/tex] chia hết cho 2 và lớn hơn hoặc bằng 0 nên [tex]y^2=1[/tex]
    => y=1,-1 , đến đây các bạn tự giải nốt nhá
    VD 8 Tìm tất các cả các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương
    [tex]P=x^4 +2x^3+2x^2+x+3[/tex]
    đặt [tex]P=y^2[/tex]( y thuộc [tex]Z^+[/tex])
    Ta có [tex]y^2 = x^4+2x^3+2x^2+x+3 =(x^2+2)^2 +(x^2+x+3) >(x^2+x)^2[/tex]
    và [tex]y^2=x^4+2x^3+2x^2+x+3 =(x^2 +x +1)^2 -(3x^2 +3x +1) \leq (x^2+x+2)^2[/tex]
    => [tex]y^2 =(x^2+x+1)^2 <=> x^2+x-2 =0[/tex]
    các bạn giải nốt
    Phương Pháp 8 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
    ta viét phương trình F(x,y)=0 dưới dạng Phương trình bậc 2 ,1 ẩn , chẳng hạn đối với x khi đó y là tham số. Điều kiện cần để PT có nghiệm là đenta [tex]\geq 0[/tex](có nghiệm nguyên denta còn là số chính phương)
    VD9 : [tex]x+y+xy=X^2 +y^2[/tex](1)
    Viết (1) thành phương trình bậc 2 đối với x
    [tex]x^2 -(y+1)x+(y^2 -y)=0[/tex](2)
    để có nghiệm nên denta [tex]\geq 0[/tex]
    giải den ta => [tex]3-(y-1)^2 \leq 4[/tex]
    Do đó (y-1)^2 \leq 1 => y-1 có 3 giá trị là -1,0,1 ( y là số nguyên)
    các bạn giải ra có 6 nghiệm là (0,0);(1,0);(0,1);(2,1);(1,2);(2,2)
    ( ai thấy bổ ích Thanks giùm nhá ,hjx mỏi tay quá)
     
  3. jupiter994

    jupiter994 Guest

    Last edited by a moderator: 6 Tháng tư 2009
  4. Anh còn phương pháp này cũng khá hay này
    Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
    VD: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình [tex]x^3+2y^3=4z^3(1)[/tex]
    Giải:
    Hiển nhiên x chia hết cho 2. Đăt [tex]x=2x_1[/tex]
    Thay vào (1) và chia 2 vế cho 2[tex]=>4x_1^3+y^3=2z^3(2)[/tex]
    Do y chia hết cho 2. Đặt [tex]y=2y_1[/tex], với [tex] y_1[/tex] nguyên
    Thay vào (2)[tex]=>2x_1^3+4y_1^3=z^3(3)[/tex]
    Do đó z chia hết cho 2. Đặt [tex]z=2z_1[/tex] với [tex]z_1[/tex] nguyên
    Thay vào (3)[tex]=>x_1^3+2y_1^3=4z_1^3(4)[/tex]
    Vậy (x,y,z) là nghiệm của (1)[tex]=>(x_1; y_1; z_1)[/tex] cũng là ngiệm của (1) và trong đó[tex]x=2x_1; y=2y_1; z=2z_1[/tex]
    ==========>cứ làm cứ làm, nói chung dạng nó như thế
     
  5. khanhtm

    khanhtm Guest

    sao lại gọi là Chỉ ra nghiệm nguyên nhỉ???
    cái này phải gọi là sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra PT có nghiệm duy nhất chứ nhỉ :-"
     
  6. ;)) đây là pp lùi vô hạn --> pt coá nghiệm x=y=z=0
     
  7. thế các bác hok có phương pháp giải pt nghiệm nguyên chứa " giai thừa " (!) ah`?
    VD:[TEX](p-1)!+1=p^n[/TEX]
     
  8. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    mình góp vui 1 bài:
    tìm các số nghuyên x,y thỏa mãn PT:
    [TEX]x^2 + y^2 - 13(x-y) = 0[/TEX]
     
  9. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Giai bài của cậu trước:

    Mình nghĩ bài này cũng dùng phương pháp biến đổi để đưa về dạng tam thức bậc hai theo một ẩn còn ẩn kia là tham số [tex] 3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x - 7y = 0 [/tex]
    => [tex] 3x^2 - x.( 3y + 7 ) + 3y^2 - 7y = 0 [/tex]
    Phương trình có nghiệm khi [tex] \Delta_x \geq 0 [/tex]
    => [tex] ( 3y + 7 )^2 - 4.3.( 3y^2 - 7y ) \geq 0 [/tex]
    => [tex] ( 9y^2 + 42y + 49 ) - 36y^2 + 84y \geq 0 [/tex]
    => [tex] ( - 27y^2 + 126y + 49 ) \geq 0 [/tex]
    => [tex] -3 ( 9y^2 - 42 y + 49 ) + 196 \geq 0 [/tex]
    => [tex] -3.( 3y - 7)^2 \geq - 196 [/tex]
    => [tex] 3.(3y - 7)^2 \leq 196 [/tex]
    => [tex] ( 3y - 7)^2 \leq \frac{196}{3} [/tex]
    => [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} \leq 3y + 7 \leq \frac{14}{\sqrt{3}}[/tex]
    => [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} - 7 \leq 3y \leq \frac{14}{\sqrt{3}} - 7 [/tex]
    => [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \leq 3y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} [/tex]
    => [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} \leq y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} [/tex]
    Do y nguyên nên :
    [tex] - 5 \leq y \leq 5 [/tex]
    Đến đây , bạn thay các giá trị của y để xét [tex] \Delta [/tex] là số chính phương => Nghiệm của bài toán. Nếu chỗ nào lập luận sai sót mong các bạn bỏ qua nhé !!!
    [/font][/size]

    Ta có :
    [tex] x^2 + y^2 - 13 ( x - y) = 0 [/tex]
    [tex] => x^2 - 13x + y^2 + 13y = 0 [/tex]
    Phương trình có nghiệm nguyên khi
    [tex] \Delta_{x} [/tex] là số chính phương.
    => [tex] ( - 13 )^2 - 4.( y^2 + 13y ) = k^2 \geq 0 [/tex]
    => [tex] 169 - 4y^2 - 4.13y = k^2 [/tex]
    => [tex] - ( 4y^2 - 4.13y + 169 ) + 2.169 = k^2 [/tex]
    => [tex] 2.169 = k^2 + ( 2y - 13)^2 [/tex]
    Ta có [tex] 2. 169 = 13^2 + 13^2 = 7^2 + 17^2 [/tex]
    Từ đó giải phương trình với các giá trị vừa tìm được !!
    ( ĐK : [tex] k \geq 0 [/tex] )[/font][/size]
     
  10. thai_lion97

    thai_lion97 Guest

    minh ko viet dc tieng viet co dau sr

    giai ho minh voi

    1) x^2+xy+y^2=x^2y^2
    2) x^2 - 2xy + 3 = 0
     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng bảy 2012
  11. maruco369

    maruco369 Guest

    cho tớ hỏi mấy câu này với

    1, tim nghiệm nguyên của pt: [TEX]32x^6+16y^6+4z^6=t^6[/TEX]
    2, tìm các nghiệm nguyên của pt: [TEX]x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2[/TEX]
    3, tìm tất cả các cặp số nguyên dương(x;y) thoả mãn: [TEX](x+y)^3=(x-y-6)^2[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng mười một 2012
  12. bboy9a

    bboy9a Guest

    giup minh lam bai nay voi

    tim so nguyên x,y sao cho
    x^x+(xy)^y=5489855287
    moi nguoi giup minh lam voi nha de casio da nang 2011-2012:confused:
     
  13. vào đây tranh tài bà kon

    tìm nghiệm nguyên của pt:
    31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)
     
  14. quangltm

    quangltm Guest

    Phương trình nghiệm nguyên [Số chính phương]

    Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $13^{a} + 2^{b} 3^{c} = \omega^2$ chỉ có các nghiệm \begin{array}{r}
    (a,b,c) = (1,2,2), (0,0,1), (0,3,0), (0,3,1), (0,4,1), (0,5,2), (2,6,1), (1,0,1), (1,0,5), (1,2,1), (1,2,3), (2,0,3), (2,10,5), (3,2,1).
    \end{array}
     
    Last edited by a moderator: 8 Tháng hai 2013
  15. klekklek

    klekklek Guest

    phương trinh nghiem nguyên khó

    1/Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : x^3+5x+2=Y^2
    2/Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y^3-x^3= 2x+1
     
  16. $x^3+5x+2=y^2$

    $\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)+6x+2=y^2$

    $\Leftrightarrow y^2 \equiv 2(mod3)$ ( Vô lí )

    $\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm nguyên
     
  17. minitoan

    minitoan Guest

    Phương trình nghiệm nguyên

    Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n*4^n + 3^n chia hết cho 7
     
  18. kanade_chan

    kanade_chan Guest

    Tìm x thuộc Z để A là số nguyên

    tính :
    1. S = (-1) + 2 +(-3) + 4 …+(-99) + 100
    2. A = 1 – 3 + 5 – 7 + …+ 149 – 151
    3. B = 2 – 4 + 6 – 8 + … + 102 – 104.
     
  19. thinhrost1

    thinhrost1 Guest

    1)[​IMG]
    2)[​IMG]
    3)[​IMG]
     
  20. 1um1nhemtho1

    1um1nhemtho1 Guest


    $x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$
    $<=> (x^4+4x^3+8x^2+8x+4) - x^2-2x-2 = y^2-2$
    $<=> (x^2+2x+2)^2 - (x^2+2x+2) = y^2-2 (1)$
    đặt $x^2+2x+2 = a$ $(a \ge 1$ và $a$ nguyên vì $x$ nguyên)
    $(1)$ trở thành $a^2-a=y^2-2 $
    $<=> 4a^2-4a= 4y^2 - 8 $
    $<=> (2a-1)^2= 4y^2-7$
    $<=> (2y-2a+1)(2y+2a-1)=7$
    $=>$ xét các $TH =>$ .....
     
    kido2006 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY