KIẾN THỨC LỚP 8 CẦN NHỚ- CHUẨN BỊ LỚP 9
P/s: mình hệ thống luôn cả cơ bản và nâng cao nữa nhé
I) Nhân đa thức
1. Nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A(B+C)=AB+AC
2. Nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.
(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD
Lưu ý: Khi nhân ra kết quả số hạng tử phải đủ. Ví dụ đa thức thứ nhất có 2 hạng tử nhân đa thức thứ hai có ba hạng tử thì kết quả khi nhân ra (chưa rút gọn) phải là đa thức có 6 hạng tử.
II) Những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. Bình phương của một tổng.
Bình phương của một tổng = bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.
[tex](A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}[/tex]
2. Bình phương của một hiệu
Bình phường của một hiệu = bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.
[tex](A - B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}[/tex]
3. Hiệu hai bình phương.
Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.
[tex]A^{2}-B^{2} = (A + B)(A-B)[/tex]
4. Lập phương của một tổng.
Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.
[tex](A + B)^{3} = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3}[/tex]
5. Lập phương của một hiệu.
Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương số thứ hai.
[tex](A - B)^{3} = A^{3} - 3A^{2}B + 3AB^{2} - B^{3}[/tex]
6. Tổng hai lập phương.
Tổng của hai lập phương =
tổng hai số đó nhân với
bình phương thiếu của hiệu.
[tex]A^{3} + B^{3} = (A + B)(A^{2}- AB + B^{2})[/tex]
7. Hiệu hai lập phương.
Hiệu của hai lập phương bằng: H
iệu của hai số đó nhân
với bình phương thiếu của tổng.
[tex]A^{3} – B^{3} = (A- B)(A^{2} + AB + B^{2})[/tex]
8. Khác:
[tex](a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc[/tex]
Tổng quát của các hằng đẳng thức 3 và 7, ta có:
[tex]a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex]
Tổng quát của hằng đẳng thức 6, ta có:
[tex]a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex]
Tổng quát của các hằng đẳng thức 1,2,4,5, ta có công thức Niu-tơn
III) Một số phương pháp phân tích thành nhân tử:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Nhằm làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới.
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
5. Phương pháp đổi biến.
6. Thêm bớt cùng một hạng tử
- Thêm, bớt một số hạng tử để xuất hiện hai hiệu bình phương
- Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
7. Phương pháp theo định lí Bezout
8. Tách thành nhiều hạng tử:
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai [tex]ax^{2}+bx+c[/tex] thành nhân tử , ta tách hạng tử bx thành b1x+b2x sao cho [tex]\frac{b1}{a}=\frac{c}{b2}[/tex] tức là b1b2=ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tính tích ac
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b.
9. Đặt biến phụ.
10. Hệ số bất định
11. Xét giá trị riêng: Trước hết ta xác định dạng của nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
IV) Chia đa thức:
1. Chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
2. Chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau.
3. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
4. Khác:
- Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho A(x)=B(x).Q(x)
- Người ta chứng minh được rằng: Với mọi cặp đa thức A(x) và B(x) trong đó B(x) khác 0, tồn tại duy nhất cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho A(x)=B(x).Q(x)+R(x) trong đó R(x)=0 hoặc bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x).
- Nếu R(x)=0 thì A(x) chia hết cho B(x). Nếu R(x) khác 0 thì A(x) không chia hết cho B(x), khi đó Q(x) là thương và R(x) là dư của phép chia A(x) cho B(x).
V) Phân thức đại số:
1. Phân thức đại số.
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B. Trong đó A,B là những đa thức và B khác 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
Số 0, số 1 cũng là những phân thức đại số.
2. Hai phân thức bằng nhau.
Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C
Ta viết: A/B = C/D nếu A.D = B.C
3. Tính chất cơ bản của phân thức.
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
A/B = A.M/B.M (M là một đa thức khác 0)
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì ta được một phân thức bằng phân thức đã cho.
A/B = A : N / B : N (N là một nhân tử chung).
4. Quy tắc đổi dấu.
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
A/B = -A/-B
5. Rút gọn phân thức.
*Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
6. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
7. Phép cộng các phân thức đại số.
a. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức.
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
b. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau.
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
8. Phép trừ các phân thức đại số.
Muốn trừ phân thức A/B cho phân thức C/D, ta cộng A/B với phân thức đối của C/D.
A/B - C/D = A/B + (-C/D)
9. Phép nhân các phân thức đại số.
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.
A/B . C/D = A.C/B.D
10. Phép chia các phân thức đại số.
Muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D khác 0, nhân nhân A/B với phân thức nghịch đảo của C/D.
VI) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. Phương trình một ẩn.
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái là A(x) và vế phải là B(x) là hai biểu thức của cùng một biến.
Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,... nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
a. Khái quát về phương trình:
- Tổng quát: A(x)=B(x)
+ A(x) và B(x) là các biểu thức biến x.
Vd: x+2=5=>x=3
- Ta gọi hệ thức dạng A (x) và B(x) là phương trình với ẩn x.
=> Tập hợp các giá trị đó gọi là tập nghiệm của phương trình đã cho, và thường được kí hiệu là S.
- Phương trình có thể có 1 nghiệm; 2 nghiệm;...; vô số nghiệm hay vô nghiệm.
Chú ý :
– Hệ thức x = m (m là một số nào đó) cũng là một phương trình, m là nghiệm duy nhất của phương trình.
– Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) hoặc có vô số nghiệm.
2. Giải phương trình.
- Tập hợp tất các các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường kí hiệu bởi S.
- Khi bài toán yêu cầu giải phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó.
- Giải phương trình A(x)= B(x) là tìm mọi giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau.
- Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm rỗng.
* Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
- Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a≠0) được giải như sau :
ax+b=0<=>ax=b<=>x=−ba
Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất.
3. Phương trình tương đương.
- Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.
- Hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương.
- Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau ta dùng kí hiệu <=>
Ví dụ: x + 1 = 0
x = -1
Cách giải:
- Phương trình tương đương:
+ Cách 1: Hai phương trình có cùng 1 tập nghiệm.
+ Cách 2: Phương trình này được biến đổi từ phương trình kia bởi quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với cùng 1 số khác 0.
- Phương trình không tương đương:
+ Cách 1: Hai phương trình không cùng 1 tập nghiệm.
+ Cách 2: Chỉ ra nghiệm của phương trình này không là nghiệm của phương trình kia.
4. Phương trình tích
- Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) ... C(x) = 0; trong đó A(x), B(x) ... là những biểu thức của biến x.
*Cách giải phương trình tích
- Muốn giải phương trình A(x).B(x) ... C(x) = 0, ta giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, ... và C(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Chú ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng [tex](x+a)^{4}+(x+b)^{4}=c [/tex], ta thường đặt ẩn phụ [tex]y=x+\frac{a+b}{2}[/tex]
5. Hai quy tắc biến đổi phương trình.
a) quy tắc chuyển vế.
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b) quy tắc nhân với một số.
- Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
- Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
6. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị ẩn vừa tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đã cho.
7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Một số cấu tạo bài toán giải bằng cách lập pt:
1) Cấu tạo số: Biểu diễn số có hai chữ số, ba chữ số.
ab = 10a + b, abc = 100a + 10b +10c,...
Điều kiện: a,b,c lớn hơn 0 và bé hơn (bằng) 9 và a,b,c thuộc tập hợp N (số tự nhiên)
2) Loại toán chuyển động:
a) Có 3 đại lượng là quãng đường (s); vận tốc (v); thời gian (t) liên hệ bởi công thức s=v.t
b) Chuyển động trên dòng nước chảy:
- Vận tốc xuôi dòng nước = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước
- Vận tốc ngược dòng nước = vận tốc riêng- vận tốc dòng nước.
3) Bài toán "làm chung - làm riêng" 1 công việc hoặc với "vòi nước chảy chung- chảy riêng" đầy bể.
a) Có 3 đại lượng: Khối lượng công việc; phần việc làm trong một đơn vị thời gian (năng suất); thời gian.
b) Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ công việc là 1.
- Nếu đợi nào đó làm xon công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày đội đó làm được 1/x (công việc ) hoặc 1 vòi nước chảy rieng 1 mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được 1/x (bể)
8) Phương trình hệ quả và nghiệm ngoại lai (thêm)
- Cho phương trình x−1=3 (1)
Nhân 2 vế của phương trình 1 với x−2 được (x−1)(x−2)=3(x−2) (2)
Phương trình (1) có nghiệm x=4, đó cũng là nghiệm của phương trình (2). Ta gọi phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Tập nghiệm của phương trình hệ quả chứa tập nghiệm của phương trình đã cho.
- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức của ẩn cho một phương trình hệ quả của phương trình ban đầu: (x−1)(x−2)=3(x−2)
Bình phương hai vế của một phương trình cũng cho một phương trình hệ quả cua phuong trình ban đầu:
x−1=3=> [tex](x−1)^{2}=3^{2}[/tex] (3)
Nghiệm của phương trình ban đầu là nghiệm của phương trình hệ quả. Nhưng nghiệm của phương trình hệ quả có thể không là nghiệm của phương trình ban đầu.
x = 2 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1 ).
x = - 2 la nghiệm của phương trình (3) nhưng không là nghiệm của phương trình (1 ).
Ta gọi những nghiệm đó là nghiệm ngoại lai.
Khi giải một phương trình, có khi ta cần biến đổi nó thành phương trình hệ quả. Khi đó, cần thử lại các nghiệm của phương trình hệ quả vào phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
9. Phương trình bậc cao (thêm)
- Để giải phương trình bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để đưa pt về dạng pt có vế trái là 1 đa thức bậc cao , vế phải bằng 0, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa pt về pt tích để giải.
- Đặt ẩn phụ
VII) BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Các tính chất cần nhớ về bất phương trình.
- Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
a>b => a+c>b+c
- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
a>b; c>0 => ac>bc
- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
a>b; c<0 =>ac<bc
- Tính bắc cầu: a>b; b>c => a>c
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b>=
0, ax + b<=
0) trong đó x là ẩn, a và b là hai số đã cho, a
khác 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
3. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình.
a) Quy tắc chuyển vế.
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số.
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm
4. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân
- Ta gọi hệ thức dạng a>b (hoặc a<b, a>=b, a=<b) là một hằng đẳng thức
- Để chứng minh bất đẳng thức a>b, ta xét hiệu a-b và chứng minh rằng hiệu đó là số dương.
5. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
- Để giải các phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, cần khử giá trị tuyệt đối.
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nếu biểu thức không âm, bằng số dối của nó nếu biểu thức âm.
giá trị tuyệt đối của A có thể là A nếu A>=0; -A nếu A<0
- Để khử dấu giá trị tuyệt đối, cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức không âm hay âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất, ta cần nhớ định lí sau:
Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax+b (a khác 0)
Nhị thức ax+b (a khác 0):
- Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức
- Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
6. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
- Ta cũng khử giá trị tuyệt đối như đối với pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
7. Bất phương trình tích. Bất pt thương.
====================================================================================================
P/s: bài mình chắc chắn còn nhiều sai sót, hi vọng các bạn góp ý giúp mình để viết bài sau hoàn chỉnh hơn nhé
Bài này không có bài tập nhé.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Tất nhiên năm đó tụi mình sẽ chạy đua khốc liệt vào kì thi lớp 10 
. Mà trong kì thi này luôn luôn sẽ có môn thi là môn Toán. Nghe đồn đề thi năm nay và năm sau ra dạng toán áp dụng liên môn blap blap 
. Năm nay anh chị 2k3 ở nơi mình cũng đủ hoang mang về toán ứng dụng này đó 
. Những kiến thức đó sẽ giúp ta rất nhiều trong việc giải bài toán ứng dụng 
. Nếu không nắm và vận dụng chúng thì khó khăn lắm.
