[Toán 8] Tuyển tập các bộ đề thi HSG những năm 1980 ...

[trydan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình viết series bài này nhằm đáp ứng nhu cầu tìm các đề thi HSG vào khoảng thời gian 20 năm trước cho các bạn mở mang thêm vốn kiến thức. Bộ series gồm có nhiều đề nên cần có nhiều thời gian để post được hết, rất mong các bạn dành thời gian theo dõi. Chúc các bạn học tốt @};-( thanks nha)

(chủ đề này hiện gồm 5 trang)​

BỘ ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM- NĂM HỌC 1990-1991
​

Bài 1: Cho đa thức [TEX] P(x) = 2x^4-7x^3 -2x^2 +13x+6[/TEX]
1) Phân tích P(x) thành nhân tử.
2) Chứng minh rằng P(x) [TEX] \vdots [/TEX] 6 với mọi x [TEX] \in[/TEX]Z.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE[TEX] \bot[/TEX] AB và CF[TEX] \bot[/TEX] AD.
Chứng minh rằng: [TEX]AB.AE+AD.AF=AC^2[/TEX]
Bài 3: Cho phân thức [TEX] F(x) = \frac {x^4+x^3-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}[/TEX]
1) Rút gọn F(x).
2) Tìm x để F(x) có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 và đường cao AH = 120. Tính hai cạnh AB và AC.
Bài 5: cho 3 số dương a, b, c.
1) Chứng minh[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]
2) Giải phương trình [TEX] \frac{a+b-x}{c} + \frac{ b+c-x}{a} + \frac{ c+a-x}{b} + \frac{4x}{a+b+c}=1 [/TEX]

BỘ ĐỀ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM - NĂM HỌC 1991-1992​

Bài 1: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3> 0[/TEX]
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [TEX]A= \frac{x^2+2x+3}{x^2+2}[/TEX]
Bài 3: Giải phương trình: |x-1| +|2x+3| = |x| +4.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có [TEX]\hat{B}[/TEX] tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng [TEX] \frac{MN}{BD}=\frac{1}{2}[/TEX] . Tính các góc của hình thoi ABCD

 

[01263812493]

bộ đề 1
câu1
P(x)=[TEX] 2x^4 - 7x^3 -2x^2 + 13x + 6[/TEX] =[TEX] 2x^4 - 5x^3 - 2x^3 + 5x^2 - 7x^2 + 7x +6x +6 [/TEX]
=[TEX] 2x^3(x-1) -5x^2(x-1) - 7x(x-1) +6(x+1) [/TEX]=[TEX] (x-1)(2x^3 -5x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX]
=[TEX] (x-1)(2x^3 + 2x^2 - 7x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX]=[TEX] (x-1)[2x^2(x+1) - 7x(x+1)] +6(x+1) [/TEX]
=[TEX] (x-1)(x+1)(2x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX] =[TEX] (x+1)[(x-1)(2x^2- 7x) +6] [/TEX] =[TEX] (x+1)(2x^3 - 9x^2 + 7x +6) [/TEX]
b\P(x)= [TEX] (x-1)(x+1)(2x^2 - 7x) +6(x+1) [/TEX] = [TEX] x(x-1)(x+1)(2x-7) + 6(x+1) [/TEX]
do [TEX] x(x-1)(x+1)(2x-7) [/TEX] chia hết cho 6 vì tích 3 số liên tip
6(x+1) chia hết cho 6 => DPCM


câu 3\a)

[TEX]A= \frac{x^4 + x^3 - x^2 - 2x -2}{x^4 + 2x^3 -x^2 -4x - 2}[/TEX][TEX] = \frac{(x^2 + x +1)(x^2 - 2)}{(x+1)^2(x^2 -2)}[/TEX][TEX] = \frac{x^2 + x+ 1}{(x+1)^2}[/TEX]

b\ A=[TEX] \frac{x^2 + x+ 1}{(x+1)^2}[/TEX]=[TEX] \frac{4(x^2 + x+ 1)}{4(x^2 + 2x+ 1)}[/TEX]=[TEX] \frac{3(x^2 + 2x + 1) + x^2 -2x +1}{4(x^2 + 2x+ 1)}[/TEX] =[TEX] \frac{3}{4} + \frac{(x-1)^2}{4(x^2 + 2x+ 1)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

\Rightarrow A [TEX] Min = \frac{3}{4}[/TEX] khi x= 1
công nhận đề mấy năm trước cực dễ
bộ đề 2
câu 2
A=[TEX] \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2}[/TEX] =[TEX] \frac{2x^2 + 4 - x^2 +2x -1}{x^2 +2}[/TEX]=[TEX] 2 - \frac{(x-1)^2}{x^2+ 2} \leq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Max = 2 [/TEX] khi x=1
A=[TEX] \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2}[/TEX]=[TEX] \frac{2(x^2 + 2x + 3)}{2(x^2 + 2)}[/TEX] =[TEX] \frac{x^2 + 2 +x^2 +4x+4}{2(x^2 + 2)}[/TEX]=[TEX] \frac{1}{2} + \frac{(x+2)^2}{2(x^2 + 2)} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min = \frac{1}{2}[/TEX] khi x=-2

 

[le_tien]

Bộ đề 1
Bài số 5.

Câu 1 dùng BDT cauchy là xong

Câu 2:

[TEX]\frac{a + b - x}{c} + \frac{a + c - x}{b} + \frac{b + c - x}{a} + \frac{4x}{a + b + c} = 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( \frac{a + b - x}{c} + 1 ) + ( \frac{a + c - x}{b} + 1 ) + (\frac{b + c - x}{c} + 1 ) - ( 4 - \frac{4x}{a + b + c} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a + b + c - x}{c} + \frac{a + b + c - x}{b} + \frac{a + b + c - x}{c} - \frac{4(a + b + c - x)}{a + b + c} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a + b + c - x)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{4}{a + b + c}) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x = a + b + c[/TEX]

 

[trydan]

Hi hi. Mấu chốt của Bộ đề 1 \ câu 5 \ 2) là phải lí luận được [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} - \frac{4}{a+b+c} > 0 [/TEX]. Bài làm của bạn chưa có phần này, suy nghĩ thêm nha



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[trydan]

Tiếp nha các bạn ( nhớ ủng hộ mình đó:-* )

BỘ ĐỀ 3
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1992-1993​

Bài 1: Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh
1) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì [TEX]a^2+b^2 \vdots 13[/TEX]
2) [TEX]10a^2 +5b^2 +12ab+4a-6b+13 \geq 0[/TEX]
Bài 2: Ở bên ngoài hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh:
1) AC=FH và AC [TEX]\bot[/TEX] FH.
2) [TEX]\triangle [/TEX]CEG vuông cân.
Bài 3: Cho đa thức [TEX]P(x) = x^4+2x^3-13x^2 -14x+24[/TEX] ; x [TEX]\in[/TEX] Z
1) Phân tích P(x) thành nhân tử.
2) CMR:[TEX] P(x) \vdots 6[/TEX]
Bài 4: Cho [TEX]\triangle[/TEX] ABC, BD và CE là hai đường cao của [TEX]\triangle[/TEX] ABC. DF và EG là 2 đường cao của[TEX] \triangle[/TEX] ADE. Chứng minh:
1) [TEX]\triangle ADE \sim \triangle ABC[/TEX]
2) FG//AC
Bài 5:
1) CMR: phương trình[TEX] x^4-x^3+x-1=0[/TEX] chỉ có 2 nghiệm
2) Tuỳ theo giá trị của m, giải phương trình [TEX]m^2x+1=x+m[/TEX]

BỘ ĐỀ 4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1993-1994​

Bài 1: Cho[TEX] P(x) = x^4-3x^3+5x^2-9x+6[/TEX]
1) Với x là số nguyên dương. CMR: [TEX] P(x) \vdots 6[/TEX]
2) Giải phương trình P(x) = 0
Bài 2: Cho tứ gáic ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm nằm trong tứ giac. Chứng minh:
1) p< ACBD<2p
2) p< MA+MB+MC+MD<3p
Bài 3: Cho a + b + c = 1 và[TEX] a^2+b^2+c^2 =1[/TEX]
1) Nếu [TEX]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}[/TEX], CMR: xy + yz + zx = 0
2) Nếu [TEX]a^3+b^3+c^3 = 1[/TEX]. Tìm giá trị của a, b, c.
Bài 4: Cho [TEX]\triangle[/TEX] ABC (AB<AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
1) So sánh[TEX] \widehat{BAH}[/TEX] và [TEX]\widehat{CAH}[/TEX]
2) So sánh BD và CE.
3) Chứng minh [TEX]\triangle ADE \sim \triangle ABC [/TEX]
Bài 5: Giải phương trình :
1) [TEX]\frac{x-a}{bc} + \frac{ x-b}{ac} +\frac {x-c}{ab} = 2 \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac {1}{c} \big) [/TEX]
2)[TEX] |x+1| -2|x-1| = x[/TEX]

 

[01263812493]

Hi hi. Mấu chốt của Bộ đề 1 \ câu 5 \ 2) là phải lí luận được [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} - \frac{4}{a+b+c} > 0 [/TEX]. Bài làm của bạn chưa có phần này, suy nghĩ thêm nha



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

có j` đâu

do a,b,c là các số và [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} - \frac{4}{a+b+c} [/TEX] khác 0 vì không chứa biến nên phần đóa bỏ wa

 

[anhvuhien]

Hình như ở bộ đề 1 bài 1 (x+1)(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6) có thể phân tích tiếp thành (x + 1)(x - 3)(x - 2)(2x+1) đung không nhỉ?

 

[quan8d]

Đề 3 :bài 1:
1, Vì a:13 dư 2 nên a^2 : 13 dư 4 , b : 13 dư 3 nên b^2 :13 dư 9
=>a^2 + b^2 chia hết cho 13
2, 10a^2 +5b^2+12ab +4a -6b +13
<=> 9a^2+12ab+4b^2 +a^2 +4a+4 +b^2-6b+9
<=> (3a+2b)^2 + (a+2)^2 +(b-3)^2 \geq 0

 

[quan8d]

Mình viết series bài này nhằm đáp ứng nhu cầu tìm các đề thi HSG vào khoảng thời gian 20 năm trước cho các bạn mở mang thêm vốn kiến thức. Bộ series gồm có nhiều đề nên cần có nhiều thời gian để post được hết, rất mong các bạn dành thời gian theo dõi. Chúc các bạn học tốt @};-( thanks nha)

BỘ ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM- NĂM HỌC 1990-1991​

Bài 1: Cho đa thức [TEX] P(x) = 2x^4-7x^3 -2x^2 +13x+6[/TEX]
1) Phâm tích P(x) thành nhân tử.
2) Chứng minh rằng P(x) [TEX] \vdots [/TEX] 6 với mọi x [TEX] \in[/TEX]Z.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE[TEX] \bot[/TEX] AB và CF[TEX] \bot[/TEX] AD.
Chứng minh rằng: [TEX]AB.AE+AD.AF=AC^2[/TEX]
Bài 3: Cho phân thức [TEX] F(x) = \frac {x^4+x^3-x^2-2x-2}{x^4+2x^3-x^2-4x-2}[/TEX]
1) Rút gọn F(x).
2) Tìm x để F(x) có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 và đường cao AH = 120. Tính hai cạnh AB và AC.
Bài 5: cho 3 số dương a, b, c.
1) Chứng minh[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]
2) Giải phương trình [TEX] \frac{a+b-x}{c} + \frac{ b+c-x}{a} + \frac{ c+a-x}{b} + \frac{4x}{a+b+c}=1 [/TEX]

BỘ ĐỀ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM - NĂM HỌC 1991-1992​

Bài 1: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3> 0[/TEX]
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [TEX]A= \frac{x^2+2x+3}{x^2+2}[/TEX]
Bài 3: Giải phương trình: |x-1| +|2x+3| = |x| +4.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có [TEX]\hat{B}[/TEX] tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng [TEX] \frac{MN}{BD}=\frac{1}{2}[/TEX] . Tính các góc của hình thoi ABCD


______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

__________________________________
câu 1(đề 2): [TEX]A=a^2b +b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 -a^3 -b^3-c^3[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow a^2(b+c-a) +b^2(a+c-b) +c^2(a+b-c) [/TEX]Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên A>0
__________________ha ha
đề 3
câu 3: a, [TEX] x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x +24[/TEX][TEX]= x^4-x^3 +3x^3-3x^2-10x^2+10x -24x +24[/TEX]
[TEX]=(x-1)(x^3 +3x^2 -10x -24)=(x-1)(x^3+2x^2+x^2+2x-12x-24)[/TEX]
[TEX]=(x-1)(x+2)(x^2+x -12)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)[/TEX]
b, [TEX](x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=(x-1)(x+2)(x+3)(x+4) -6(x-1)(x+2)(x+4)[/TEX]
vì tích 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên
P(x) chia hết cho 6
đề 4
câu 3:x/a=y/b=z/c
\Rightarrowx^2/a^2=y^2/b^2=z^2/c^2=(x+y+z)^2/(a+b+c)^2(1)
Mặt khác :x^2/a^2=y^2/b^2=z^2/c^2= (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2) (2)
a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1 =>(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2
\Rightarrow(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
\Rightarrowxy +yz +zx=0
chú ý latex

 

[trydan]

Mấy bữa nay bận quá. Các bạn thông cảm.

BỘ ĐỀ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1994-1995
​

Bài 1:
1) Phân tích đa thức thành nhân tử [TEX]6x^3+13x^2+4x-3[/TEX]
2) Với giá trị nào của x thì giá trị biểu thức [TEX]A= (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)[/TEX] nhỏ nhất.
Bài 2:
1) Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]
2) Giải phương trình [TEX](4x+3)^3+(5-7x)^3+(3x-8)^3=0[/TEX]
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác
1) Chứng minh bất đẳng thức [TEX]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
2) Chứng minh rằng nếu [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX] thì tam giác đã cho đều.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E và AB tại F. Chứng minh AM=EF
Bài 5: Trong [TEX]\triangle[/TEX] ABC kẻ trung tuyến AM, K là 1 điểm trên AM sao cho [TEX]\frac{AK}{AM}=\frac{1}{3}[/TEX], BK cắt AC tại N.
1) Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2) Một đường thẳng qua K cắt AB và AC lần lượt tại I và J.Chứng minh[TEX] \frac{AB}{AI}+\frac{AC}{AJ}=6[/TEX]

 

[ngojsaoleloj8814974]

Bài 1:
1) Phân tích đa thức thành nhân tử [TEX]6x^3+13x^2+4x-3[/TEX]
2) Với giá trị nào của x thì giá trị biểu thức [TEX]A= (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)[/TEX] nhỏ nhất.
Bài 2:
1) Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX]. Chứng minh [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]

1-a [TEX] 6x^3+13x^2+4x-3=(3x-1)(x+1)(2x+3)[/TEX]
b [TEX] A=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6) =(x^2+5x)^2-36 \geq36[/TEX]
vậy MinA=-36 khi [TEX]x^2+5x=0[/TEX] khi x=0;x=-5
2-a Ta xét hiệu [TEX] a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0[/TEX]
Nên [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác
1) Chứng minh bất đẳng thức [TEX]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
2) Chứng minh rằng nếu [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX] thì tam giác đã cho đều.

a-ta xét hiệu[TEX] (a^2+b^2+c^2)-(ab-bc-ca)=1\2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)[/TEX]
[TEX] =1\2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca [/TEX]
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên [TEX]a<b+c\Rightarrow a^2<ab+ca[/TEX]
tương tự ta có [TEX] b^2<bc+ab;c^2<ca+bc [/TEX]
Cộng 3 BĐT trên ta được: [TEX]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
suy ra [TEX]ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/TEX]
b-Theo câu a ta có[TEX] a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)[/TEX]
dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c khi tam giác đó là tam giác đều

 

[quan8d]

a, ta có: [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex] \leq [tex]a^2[/tex] +[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex]
\Leftrightarrow 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex]) \leq 2([tex]a^2 [/tex]+[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex])
\Leftrightarrow 2[tex]a^2[/tex] +2[tex]b^2[/tex] +2[tex]c^2[/tex] - 2( [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex]) \geq 0
\Leftrightarrow [tex](a - b)^2[/tex]+[tex](b-c)^2[/tex]+[tex](c-a)^2[/tex] \geq 0 ( đung với \forall a,b,c)
ta có :
[tex]a^2[/tex] < a(b+c)
[tex]b^2[/tex] < b(a+c) [tex]\rbrace[/tex] \Rightarrow [tex]a^2 [/tex]+[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex] < 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex])
[tex]c^2[/tex] < c(a+b)
Vậy [tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex] \leq [tex]a^2[/tex] +[tex]b^2[/tex] +[tex]c^2[/tex] < 2([tex]ab[/tex]+[tex]bc[/tex]+[tex]ac[/tex])

2, ta có : 4x+3+5-7x+3x-8 =0 nên áp dụng câu 1,ta có:
[tex](4x-3)^3 [/tex]+[tex](5-7x)^3 [/tex]+ [tex](3-8x)^3 [/tex] =3(4x+3)(5-7x)(3x-8)
=>3(4x+3)(5-7x)(3x-8)=0
=>[tex]\left[\begin{4x+3=0}\\{5-7x = 0}\\{3x-8=0} [/tex]
\Rightarrow[tex]\left[\begin{x=-3/4}\\{x=5/7}\\{x=8/3} [/tex]

ta có [tex]\Delta[/tex]ECM ~[tex]\Delta[/tex]FBM
=> [tex]\frac{EM}{MF}[/tex] = [tex]\frac{MC}{MB}[/tex]
=> [tex]\frac{EF}{MF}[/tex] = [tex]\frac{BC}{MB}[/tex] =[tex]\frac{AB}{BM}[/tex] (1)
Lại có : [tex]\Delta[/tex]ABM ~[tex]\Delta[/tex]AMF
=> [tex]\frac{AB}{BM}[/tex]=[tex]\frac{AM}{MF}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra : [tex]\frac{EF}{MF}[/tex]=[tex]\frac{AM}{MF}[/tex]
=> EF=AM

Từ M kẻ MD // BN ( D [tex]\in[/tex] AC)
Vì M là trung điểm của BC nên MD =[tex]\frac{1}{2}[/tex]BN
Vì AK = [tex]\frac{1}{3}[/tex]AM => KN =[tex]\frac{1}{3}[/tex]MD
Suy ra : KN = [tex]\frac{1}{6}[/tex]BN hay KN=[tex]\frac{1}{5}[/tex]BK
=> [tex]\text{S}[/tex]AKN=[tex]\frac{1}{5}[/tex][tex]\text{S}[/tex]AKB=[tex]\frac{1}{15}[/tex][tex]\text{S}[/tex]ABM=[tex]\frac{1}{30}[/tex][tex]\text{S}[/tex]ABC

 

[son_9f_ltv]

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác

chém bài này nha

VT thì ko cần ĐK a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác,chỉ cần ĐK là >0
chỉ cần nhân 2 cả 2 vế oy chuyển vế là ok!

xét vế phải
[TEX]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 0<ab+ac-a^2+bc+ba-b^2+ca+cb-c^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]0<a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)[/TEX]

do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a+b>0
\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]

 

[trydan]

Thanks các bạn đã ủng hộ mình nhiều nha. Và để đáp lại sự ủng hộ đó. Mình xin tung ra bộ đề 6- đảm bảo các bạn phải suy nghĩ nhiều hơn :khi (45):

BỘ ĐỀ 6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1995-1996
​

Bài 1: Cho n là số tự nhiên
1) Xác định n để [TEX]A=\frac{5n-11}{4n-13}[/TEX] là số tự nhiên.
2) Chứng minh rằng [TEX]B= n^3+6n^2-19n-24[/TEX] chia hết cho 6.
3) Tính tổng [TEX]S(n)= \frac{1}{2.5}+ \frac{1}{5.8} +...+ \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}[/TEX]
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt ở I, M, N. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
1) [TEX]IM.IN= ID^2[/TEX]
2) [TEX]\frac{KM}{KN}=\frac{DM}{DN}[/TEX]
Bài 3:
1) Giải phương trình [TEX]|x-1|+|x+2|+|x-3|=14[/TEX]
2) Tìm giá trị nguyên của x và y trong đẳng thức [TEX]2x^3+xy=7[/TEX]
3) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh:
[TEX]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+ \frac{d}{d+a+b}<2[/TEX]
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC=a và đường cao AH=h. Từ 1 điểm M trên đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB và AC tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1) Tính diện tích tứ giác PQRS theo a, h, x (AM=x).
2) Xác định vị trí của M trên AH để diện tích này lớn nhất.

 

[son_9f_ltv]

[TEX]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b}<2[/TEX]

có [TEX]a+b+c<a+b+c+d[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+ \frac{d}{d+b+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1(dpcm)[/TEX]

[TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=1[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b+c+d}+\frac{c+d}{b+c+d}=1[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c+d+a}+\frac{a+d}{c+d+a}=1[/TEX]

[TEX]\frac{d}{d+a+b}+\frac{a+b}{d+a+b}=1[/TEX]

cộng lại ta đc

[TEX]\frac{a+b+c}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{b+c+d}+\frac{c+d+a}{c+d+a}+\frac{d+a+b}{d+a+b}=1+1+1=4[/TEX]

mặt khác ta dễ CM đc [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+d}{b+c+d}+\frac{a+d}{c+d+a}+\frac{a+b}{d+a+b}>2[/TEX]

thật vậy

bằng cách trên ta có [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+d}{b+c+d}+\frac{a+d}{c+d+a}+\frac{a+b}{d+a+b}>\frac{b+c+c+d+d+a+a+b}{a+b+c+d}=2\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=2(dpcm)[/TEX]

[TEX]|x-1|+|x+2|+|x-3|=14[/TEX]

xét [TEX]\left[\begin{x\ge 3}\\{x\le 1}\\{1<x<3}[/TEX]

 

[trydan]

Hây da. Bữa nay mình quyết định là phải xử xong 1 bộ đề rồi mới post tiếp. Chứ post nhiều quá thì ..................:-S
ở đây mình xử luôn bài
Bài 1: 2) [TEX]n^3+6n^2-19n-14= n^3-n+6n^2-18n-24 = n(n^2-1)+6(n^2-3n-4)[/TEX]
[TEX]=n(n-1)(n+1) +6(n^2-3n-4)[/TEX]
Ta thấy [TEX]n(n-1)(n+1)[/TEX] chia hết cho 6 và [TEX]6(n^2-3n-4)[/TEX] cũng chi hết cho 6 \Rightarrow đpcm
3) [TEX]S=\frac{1}{3}\big[ \frac{3}{2.5}+ \frac{3}{5.8}+....+ \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} \big][/TEX]
[TEX]= \frac{1}{3} \big( \frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5} -.... -\frac{1}{3n+2}\big)[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{3} \big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2} \big) = \frac{n}{2(3n+2)}[/TEX]
Bài 2 và Bài 4 cũng rất dễ, các bạn tự làm nha. Còn câu 1b) thì mình không biết làm. Các bạn giúp mình nha &gt;&lt; Thanks nhiều

 

[trydan]

Lâu rồi chưa post đề.................

BỘ ĐỀ 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN 6, TP HCM-NĂM HỌC 1996-1997​

Bài 1: Rút gọn rồi tính số trị của biểu thức
[TEX]A= \frac{2a^3-12a^2+17a-2}{a-2}[/TEX] biết rằng a là nghiệm nguyên của phương trình [TEX]|a^2-3a+1|=1[/TEX]
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B và các giá trị của x tương ứng
[TEX]B=(3x-1)^2-4|3x-1|+5[/TEX]
Bài 3: Cho a + b + c = 1 . Chứng minh rằng [TEX]a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}[/TEX]
Bài 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đường thẳng. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD, EFGH.
1) Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng [TEX]\triangle OHE \sim \triangle OBC[/TEX]
2) Chứng minh rằng các đường thẳng CE và DF cùng đi qua O.
Bài 5: Cho các điểm E và F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho AF=CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE. Chứng minh rằng ID là phân giác của [TEX]\widehat{AIC}[/TEX].

 

[quan8d]

3, Ta có : [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX]
[TEX]b^2+c^2 \geq 2bc [/TEX]
[TEX]c^2+a^2 \geq 2ac[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ac)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
:khi (58): :khi (186):

Ta có :[TEX] (3x-1)^2 - 4|3x-1| +5= (|3x-1|)^2 -4|3x-1| +4+1= (|3x-1|-2)^2+1 \geq 1[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow |3x-1|-2=0 \Leftrightarrow |3x-1|=2[/TEX]
\Leftrightarrow x=1, hoặc[TEX] x=\frac{-1}{3}[/TEX]
Vậy [TEX]Min = 1 \Leftrightarrow x=1, x=\frac{-1}{3}[/TEX]

Bài 5. Nối D với E, D với F . Từ D kẻ DH và DK lần lượt vuông góc với AF và EC ( H thuộc AF, K thuộc EC)
Dễ dang chứng minh được [tex]S[/tex] AFD=[tex]S[/tex] EDC=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] [tex]S[/tex] ABCD
=> [TEX]\frac{1}{2} AF.DH=\frac{1}{2} EC.DK[/TEX]
mà AF=EC nên DH = DK
suy ra D cách đều IA và IC nên ID là phân giác góc AIC

 

[trydan]

Lâu rùi chưa có bài viết mới. Mình xin xử bài 1 trước nhá
Giải phương trình [TEX]|a^2-3a+1|=1[/TEX] ta được a [TEX]\in[/TEX] {0;1;2;3}
Rút gọn A ta được [TEX]A = \frac{(a-2)(2a^2-8a+1)}{a-2} = 2a^2-8a+1[/TEX]
Với a=0 thì A = 1
Với a=1 thì A = -5
Với a=2 thì A vô nghĩa
Với a=3 thì A = -5

 

[trydan]

Xin lỗi các bạn vì pic này đã dừng hoạt động quá lâu|. Mình xin khởi động lại nha:-*
Bài 4: (Bộ đề 7)
1) HG//AB \Rightarrow [TEX]\frac{OH}{OB}=\frac{HE}{BC}[/TEX]
Xét [TEX]\triangle[/TEX]OHE và [TEX]\triangle[/TEX]OBC có
[TEX]\frac{OH}{OB}=\frac{HE}{BC}[/TEX] và [TEX]\widehat{EHB}=\widehat{HBC}[/TEX](HE//BC)
\Rightarrow [TEX]\triangle[/TEX]OHE [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\triangle[/TEX]OBC
2) Chứng minh tương tự \Rightarrow[TEX] \triangle [/TEX]AOD [TEX]\sim[/TEX] [TEX]\triangle[/TEX]GOF (c.g.c)
[TEX]\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{GOF}[/TEX]
mà [TEX]\widehat{AOD} + \widehat{DOG} = 180^ o[/TEX] (hai góc kề bù)
[TEX]\Rightarrow \widehat{GOF}+\widehat{DOG}=180^o [/TEX]hay [TEX]\widehat{DOF}=180^o[/TEX]
hay D, O, F thẳng hàng. Vậy DF đi qua O
Chứng minh tương tự suy ra CE đi qua 0