[Toán 8] Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

[miumiudangthuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB > BC. Qua C kẻ đường thằng vuông góc với tia phân giác BE của [TEX]\hat{ABC}[/TEX] (E thuộc AC) , đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G (D thuộc AC). CMR đoạn EG bị đoạn thẳng DF chia thành 2 phần bằng nhau.

Các bạn giúp mình bài này nhanh lên nhé, mình cần gấp lắm rùi, cảm ơn trước nhé!

 

[0973573959thuy]

Đội 2

Hình tự vẽ!

Gọi K; M lần lượt là giao điểm của CG và AB; DF và BC; I là giao điểm của EG và DF.

Xét tam giác BKC có:
BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác BKC cân tại B
Suy ra BK = BC và KF = FC

Xét tam giác ACK có AD = DC(gt) và KF = FC (cmt)

suy ra DF là đường trung bình trong tam giác ACK.

suy ra $DF = \dfrac{AK}{2}; DF // AB$ hay DM // AB suy ra M là trung điểm BC

Xét tam giác BGK có BK // DF (vì AB// DF theo cmt), áp dụng Thales có:

$\dfrac{DG}{GB} = \dfrac{DF}{BK} = \dfrac{2DF}{2BK} = \dfrac{AK}{2BK}$ (vì $DF = \dfrac{AK}{2}$)

$\rightarrow \dfrac{GB}{DG} = \dfrac{2BK}{AK} (1)$

Mà $\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{DC - DE}{DE} = \dfrac{DC}{DE} - 1 = \dfrac{AD}{DE} - 1$ (vì DC = AD) hay $\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{AE - DE}{DE} - 1 = \dfrac{AE}{DE} - 2 = \dfrac{AB}{DF} - 2$ (vì $\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{AB}{DF}$)

$\rightarrow \dfrac{CE}{DE} = \dfrac{AB}{DF} - 2 = \dfrac{AK + KB}{DF} - 2 = \dfrac{2(AK + KB)}{AK} - 2 = \dfrac{2KB}{AK} (2)$

Từ (1); (2) suy ra $\dfrac{GB}{DG} = \dfrac{CE}{DE}$

$\rightarrow GE // BC$ (theo Thales đảo trong tam giác BCD)

$\rightarrow \dfrac{EI}{MC} = \dfrac{GI}{MB} ( = \dfrac{DI}{DM})$

Mà $MB = MC(cmt)$ nên $EI = IG$ (đpcm)