[toán 8] c/m tỉ lệ thức hình học

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABD; M,N thuộc AD; Góc MBA= góc NBD
C/m $\dfrac{MA.NA}{MD.ND}=\dfrac{AB^2}{BD^2}$
MỌi người giải gấp giúp mềnh, tks nhìu ạ

 

[demon311]

ĐỘI 5

Kẻ phân giác BP của $\widehat{ ABD} \;\; (P \in AD)$
Kẻ ME,NF song song với BP
Kẻ NI,MK lần lượt song song với BD,AB $(I \in AB \; ; \; K \in BD)$
Ta có:
Vì BP là tia phân giác của $\widehat{ ABD}$ và theo giả thiết: $\widehat{ ABM}=\widehat{ DBN}$ nên $\widehat{ PBM}=\widehat{ PBN}$
Do đó: $\dfrac{ PM}{PN}=\dfrac{ BM}{BN}$

BP là phân giác $\widehat{ ABD}$ nên $\dfrac{ PD}{PA}=\dfrac{ BD}{BA}$
Ta có:
Vì EM // PB nên theo định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{ PA}{MA}=\dfrac{ PB}{ME} \;\; (1)$
Tương tự, vì NF // PB nên:

$\dfrac{ PD}{ND}=\dfrac{ PB}{NF} \;\; (2)$
Chia 2 vế của (2) cho (1) ta được:

$\dfrac{ PD.MA}{PA.ND}=\dfrac{ ME}{NF} \;\;$ (I)
Lại có:

$\triangle EBM \sim \triangle FBN \; (g-g)$ nên $\dfrac{ ME}{NF}=\dfrac{ BM}{BN}$
Do đó:

(I) \Leftrightarrow $\dfrac{BD}{BA}.\dfrac{ MA}{ND}=\dfrac{ BM}{BN}\;$ (*)
Ta có:
MK // AB nên ta có:

$\dfrac{ MD}{AD}=\dfrac{ MK}{AB} \;\; (3)$
Tương tự, NI // BD nên:

$\dfrac{ NA}{DA}=\dfrac{ NI}{DB} \;\; (4)$
Chia 2 vế của (4) cho (3) ta được

$\dfrac{ NA}{MD}=\dfrac{ NI}{MK}.\dfrac{ DB}{AB} \;$ (II)

Mà $\triangle NIB \sim \triangle MKB$ nên $\dfrac{ NI}{MK}=\dfrac{ BN}{BM}$
Do đó:

(II) \Leftrightarrow $\dfrac{ NA}{ND}=\dfrac{ BN}{BM}.\dfrac{ BA}{BD}\; $ (*)(*)
Nhân 2 vế của (*) và (*)(*) ta được:

$\dfrac{BD}{BA}.\dfrac{ MA}{ND}.\dfrac{ NA}{ND}=\dfrac{ BM}{BN}.\dfrac{ BN}{BM}.\dfrac{ BA}{BD} $
$\dfrac{ MA.NA}{MD.ND}=\dfrac{ AB^2}{BD^2}$ (dpcm)