Giải phương trình bậc 4 tổng quát
Tất cả chúng ta đều đã biết các phương trình $f(x)=0$ có $\deg f(x) \ge 5$ thì không có công thức nghiệm tổng quát . Nhưng còn phương trình bậc 4 thì sao ? ( Với bậc 3 thì ta đã có Cacdano để tính nghiệm rồi ) . Câu trả lời là với bậc 4 thì vẫn có và công thức đó nó như thế nào thì chúng ta sẽ cùng nhau nhìn trong bài viết nhỏ này .
Xét phương trình : $$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$ bằng phép đổi biến $x=t-\dfrac{a}{4}$ ta đưa phương trình về phương trình mới có dạng như sau : $$t^4=pt^2+qt+r \hspace{1cm} q\neq 0$$ Gọi $\alpha$ là số thực thỏa mãn hệ thức : $$q^2=4(p+2\alpha)(r+\alpha^2) $$ Ta luôn tìm được $\alpha$ vì phương trình ở trên là bậc 3 với ẩn $\alpha$. Lúc này ta xét cái tam thức bậc 2 : $f(t)=(p+2\alpha)x^2+qx+(r+\alpha^2)$ có nghiệm kép và : $$f(t)=\left\{\begin{array}{1}(p+2\alpha)\left[x+\dfrac{q}{2(q+2\alpha}\right]^2 \hspace{1cm}(p+2\alpha \neq 0) \\ r+\alpha^2 \hspace{1cm}(p+2\alpha = 0 ) \end{array}\right.$$ và phương trình đã cho có thẻ viết lại là : $(t^2+\alpha)^2=f(t)$
Việc biện luận còn lại là như sau :
+) Nếu $p+2\alpha >0$ thì phương trình trên trở thành cặp phương trình : $t^2+\alpha=\pm \sqrt{p+2\alpha}\left(t-\dfrac{q}{2(q+2\alpha)}\right)$.
+) Nếu $p+2\alpha <0$ thì phương trình vô nghiệm .
+) Nếu $p+2\alpha =0$ thì ta được phương trình : $(t^2+\alpha)=r+\alpha^2$.
Tới đây thì chúng ta tính nghiệm của phương trình bậc 2 .
BIỂU THỊ THỨ 2 CHO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TỔNG QUÁT
Xét phương trình : $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \hspace{1cm} (a\neq0)$
Bằng phép thế biến $Y=x-\dfrac{b}{4a}$ ta được phương trình mới : $Y^4+pY^2+qY+r=0$ Gọi $z_1;z_2;z_3$ là các nghiệm của phương trình : $Z^3-1pZ^2+(p^2-4r)Z+q^2=0$ ta luôn chọn được các $\sqrt{z_1};\sqrt{z_2};\sqrt{z_3}$ sao cho : $\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}\sqrt{z_3}=-p$ khi đó ta có các nghiệm của phương trình ban đầu dạng rút gọn là : $$y_1=\dfrac{1}{2}(\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}) \\y_2=\dfrac{1}{2}(\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}) \\y_3=\dfrac{1}{2}(-\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}) \\y_4=\dfrac{1}{2}(-\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}) $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
):