Toán 12

[pooohlinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

C1 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M,N là các điểm lần lượt di đọng trên các cạnh AB,AC sao cho (DMN) vuông góc vs (ABC) . Đặt AM = x, AN = y .Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y . CMR : x + y = 3xy.

C2: Cho x,y,z >= 0 thỏa mãn x+y+z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu hức P = ( x^3 + y^3 + 16 z^3) / (x+y+z)^3.
Ai giải dc thì chỉ dùm m vs

 

[bonoxofut]

C1 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M,N là các điểm lần lượt di đọng trên các cạnh AB,AC sao cho (DMN) vuông góc vs (ABC) . Đặt AM = x, AN = y .Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y . CMR : x + y = 3xy.

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=153269

Tứ diện đều là hình có 4 mặt là 4 tam giác đều.

Bạn nên tham khảo tại đây một chút.
Mình sẽ gợi ý cho bạn hướng chứng minh thôi nhé.
Câu a:

• Đọc link trên, và chứng minh hình chiếu H của D xuống mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp, cũng là trọng tâm của
  
  .
• Dùng giả thiết (DMN) vuộng góc (ABC) để chứnh minh rằng M, H, N thẳng hàng.
• Nhớ là tam giác ABC đều, bạn có thể tính được độ dài DH, và diện tích AMN không? Từ đó suy ra thể tích D.AMN.

Câu b:

• Chú ý là ở trên ta đã có M, H, N thẳng hàng.
• Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AB, AC. Ta có HP vuông góc AB, HQ vuông góc AC. Sau đó tính độ dài HB và HQ.
• Tính diện tích tam giác AMN theo 2 cách:
  • 
  • 

Và so sánh 2 cách tính, ta sẽ có điều phải chứng minh. Chú ý rằng tam giác ABC đều có cạnh là 1.

Thân,

 

[lengfenglasaingay]

C1 :
C2: Cho x,y,z >= 0 thỏa mãn x+y+z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu hức P = ( x^3 + y^3 + 16 z^3) / (x+y+z)^3.
Ai giải dc thì chỉ dùm m vs

[tex]P=\frac{(x^3+y^3)+16z^3}{(x+y+z)^3}\geq \frac{\frac{(x+y)^3}{4}+16z^3}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{4}[(1+\frac{z}{x+y+z})^3+64(\frac{z}{x+y+z})^3][/tex]
[tex]t=\frac{z}{x+y+z}[/tex]
[tex]f(t)=\frac{1}{4}[(1+t)^3+64t^3](0\leq t\leq 1)[/tex]

 

[duynhan1]

C1 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M,N là các điểm lần lượt di đọng trên các cạnh AB,AC sao cho (DMN) vuông góc vs (ABC) . Đặt AM = x, AN = y .Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y . CMR : x + y = 3xy.

C2: Cho x,y,z >= 0 thỏa mãn x+y+z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu hức P = ( x^3 + y^3 + 16 z^3) / (x+y+z)^3.
Ai giải dc thì chỉ dùm m vs

Bài này không có điều kiện ràng buộc nên ta cứ áp dụng thoải mái
[TEX]x^3 + y^3 + 16z^3 \ge \frac14(x+y)^3 + 64z^3[/TEX]
Áp dụng BDT Holder thì :
[TEX]\red (\frac14(x+y)^3 + 64 z^3)( 2 + \frac18 )( 2 + \frac18) \ge ( x+y+z)^3 (*)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3} \ge \frac{4}{17}[/TEX]

[TEX]\Large "=" \Leftrightarrow \left{ x = y \\ \frac{\frac14(x+y)^3}{64z^3} = \frac{2}{\frac18} \right. \Leftrightarrow x=y = 8z[/TEX]

BDT (*) có thể chứng minh bằng BDT Co-si. Các bạn có thể xem cách chứng minh tổng quát của BDT Holder để suy ra cách chứng minh cụ thể cho bài này