Toán [Toán 12] Tích phân

[mthu123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân:
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[/tex] [TEX]f(tanx)dx= 4[/TEX] và [TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^{2}f(x)}{x^{2}+1}dx=2[/TEX]

Tính tích phân
[tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]

Cảm ơn trước ạ

 

[vivietnam]

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân:
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[/tex] [TEX]f(tanx)dx= 4[/TEX] và [TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^{2}f(x)}{x^{2}+1}dx=2[/TEX]

Tính tích phân
[tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]

Cảm ơn trước ạ

Ta có:

[tex]\int_{0}^{1}\frac{x^{2}f(x)}{x^{2}+1}dx=2 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(f(x)-\frac{f(x)}{x^{2}+1})dx=2 \Rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x^{2}+1}dx+2[/tex]
Xét [tex] I= \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x^{2}+1}dx[/tex]
Đặt [tex]x=tant \Rightarrow dx=\frac{dt}{cos^{2}t}[/tex]
[tex] \Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \frac{f(tant)}{tan^{2}+1}.\frac{dt}{cos^{2}t}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}} cos^{2}t.f(tant).\frac{dt)}{cos^{2}t}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(tant)dt [/tex]
Do tích phân không phụ thuộc vào biến nên [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(tant)dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(tanx)dx=4[/TEX]
Vậy [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx=4+2=6[/tex]