[TOÁN 12]tích phân cặp hàm lượng giác-dạng thường gặp

[nguyenminh44]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dạng đơn giản nhất là dạng
[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx[/TEX]

Bằng cách đặt ẩn phụ [TEX]t=\frac{\pi}{2}-x[/TEX] ta sẽ thu được tích phân

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^nt}{sin^nt+cos^nt}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^nx}{sin^nx+cos^nx}dx[/TEX] (tích phân xác định không phụ thuộc biến)

[TEX]\Rightarrow 2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx[/TEX]

Các bạn giải lại bài toán sau( rất nhiều bạn đã thắc mắc)

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^{2008}x}{sin^{2008}x+cos^{2008}x}dx[/TEX]

2)Một dạng nữa khó hơn

[TEX]I=\int_{n}^{m}\frac{a sin^2x}{bsinx+c. cosx}dx[/TEX]

Đối với dạng này, các bạn hãy xét thêm tích phân

[TEX]J=\int_{n}^{m}\frac{d.cos^2x}{bsinx+c cosx}dx[/TEX] với [TEX]|d|=\frac{|a|}{b^2}c^2[/TEX]

Tìm hai mối liên hệ giữa I và J rồi giải hệ (thường là như vậy, nếu không thì biến đổi, tùy yêu cầu đề bài)

Các bạn hãy giải 2 bài toán sau

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2x}{2sinx+3cosx}dx[/TEX]

[TEX]J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2cos2x}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]

--->Vì không có thời gian chuẩn bị nên các bài toán này đều là đề tự chế ngay tại chỗ. Do đó kết quả có thể sẽ "xấu". Mọi người thông cảm nhé

 

[giangln.thanglong11a6]

Tính I trước.

Đặt [TEX]H=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos^2x}{2sinx+3cosx}dx[/TEX]

[TEX]I+H=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2sinx+3cosx}=\frac{\sqrt{13}}{13}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\frac{2}{\sqrt{13}}sinx+\frac{3}{\sqrt{13}}cosx}[/TEX]

Đặt [TEX]\frac{2}{\sqrt{13}}=cos{\alpha}[/TEX]; [TEX]\frac{3}{\sqrt{13}}=sin{\alpha}[/TEX]

[TEX]I+H=\frac{\sqrt{13}}{13}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{\sqrt{13}}{13}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(cos(x+\alpha))}{cos^2(x+\alpha)-1^2}[/TEX]

[TEX]=\frac{\sqrt{13}}{13}.\frac{1}{2} ln \left|\frac{cos(x+\alpha)-1}{cos(x+\alpha)+1} \right| |_0^{\frac{\pi}{2}}=... [/TEX]

[TEX]4I-9H =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2sinx-3cosx)dx = (2cosx+3sinx) |_{\frac{\pi}{2}}^0=-1[/TEX].

Từ đó tính được I.

 

[eternal_fire]

Các bạn hãy giải 2 bài toán sau

[
[TEX]J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2cos2x}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]

--->Vì không có thời gian chuẩn bị nên các bài toán này đều là đề tự chế ngay tại chỗ. Do đó kết quả có thể sẽ "xấu". Mọi người thông cảm nhé

[TEX]J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2cos2x}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2x}{\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2x}{cos(x-\frac{\pi}{6})}dx[/TEX]

Đến đây đặt [TEX]x-\frac{\pi}{6}=t \to dx=dt[/TEX]
Ta biến đổi [TEX]cos2x=cos(2t+\frac{\pi}{3})=\frac{cos2t}{2}-\frac{sin2t.\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[nguyenminh44]

[TEX]J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2cos2x}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2x}{\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos2x}{cos(x-\frac{\pi}{6})}dx[/TEX]

Đến đây đặt [TEX]x-\frac{\pi}{6}=t \to dx=dt[/TEX]
Ta biến đổi [TEX]cos2x=cos(2t+\frac{\pi}{3})=\frac{cos2t}{2}-\frac{sin2t.\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Đây là cách làm theo phương pháp cặp

Xét [TEX]H_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2x}{sin x+\sqrt{3}cos x}dx[/TEX]

và [TEX]H_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{sin x+\sqrt{3}cos x}dx[/TEX]

Ta có [TEX]A=H_1+H_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin(x+ \frac{\pi}{3})}dx=..[/TEX]

Mặt khác [TEX]B=3H_2-H_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{3}cosx-sinx)dx=...[/TEX]

Ta có [TEX]J=2(H_2-H_1)=B-A=...[/TEX]

 

[hoangkimstory]

giải hộ tích phân dx/sin^4(x)
làm ơn giúp giùm. trả lời nhanh hộ tui phát. cám ơn nhiều

 

[tlquyen87]

[TEX] \int{\frac{dx}{\sin^4 x}} [/TEX] [TEX]= -\int{(1+\cot^2 x)}d(\cot x)[/TEX] [TEX] = - \cot x - \frac {\cot^3 x}{3}+C [/TEX]

 

[tlquyen87]

Riêng nguyên hàm [TEX] H_1 [/TEX], cũng có thể giải như sau

Để ý rằng

[TEX] \sin^2 x = -\frac{1}{2}(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2 -\frac{\sqrt{3}}{2}(\sin x+\sqrt{3}\cos x)(\cos x-\sqrt{3}\sin x)[/TEX].

Tiếp theo đã đơn giản!!

Theo hướng này, có thể tổng quát bài toán thành

[TEX] \int{\frac{\sin^2 x}{(A\sin x +B\cos x+C)^m}[/TEX].

Tất nhiên, nếu thay tử bởi [TEX] \cos^2 x [/TEX] hoặc [TEX] m\sin ^2 x+n\cos^2 x [/TEX]ta vẫn giải được.