H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bất đẳng thức thực sự một biến, nghĩa là không có dấu đẳng thức xảy ra, ví dụ như $f(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $[a,b]$. Chắc chắn rằng ý tưởng đầu tiên là sẽ sử dụng đạo hàm để xử lý. Tuy nhiên việc giải nghiệm chắc chắc sẽ mất thời gian và nếu nghiệm xấu thì thôi rồi. Định lý sau đây sẽ giúp ích trong các bất đẳng thức dạng đó.
Định lý. Cho $f(x,y)$ là hàm liên tục theo hai biến $x,y$, đi từ $[a,b]$ vào $\mathbb{R}$, $f$ giảm theo $x$ và tăng theo $y$. Khi đó nếu tồn tại dãy hữu hạn tăng $a=x_0\le x_1\le ...\le x_{m+1}=b$ sao cho $f(x_{n}, x_{n+1})>0$ với mọi $n=1,2,3,...,m$ thì $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$.
Chứng minh.
Với mọi $x\in [a,b]$, tồn tại $n$ sao cho $x\in [x_{n}, x_{n+1}]$. Theo giả thiết hàm $f$ ta có: $f(x,x)\ge f(x_{n}, x)\ge f(x_{n}, x_{n+1})>0$. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Đặc biệt hơn, điều ngược lại vẫn đúng, nghĩa là $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$ thì tồn tại dãy hữu hạn tăng $a=x_0\le x_1\le ...\le x_{m+1}=b$ sao cho $f(x_{n}, x_{n+1})>0$ với mọi $n=1,2,3,...,m$. Điều này giúp ta tin tưởng vào định lý hơn là có thể chia được các khoảng nhỏ để áp dụng định lý. Ta còn có thể hiểu định lý một cách cụ thể hơn đó là nếu $f(a,b)>0$ thì $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{2x^2+5}{2(x^4+x+1)}}+\sqrt{\dfrac{x^3}{x+5}}+x^4-\dfrac{3}{2}>0$ với mọi $x\ge \dfrac{1}{2}$
Nếu $x\ge \dfrac{6}{5}$ thì ta có $x^4>\dfrac{3}{2}$ nên ta có điều phải chứng minh.
Nếu $x\in \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{6}{5}\right]$, lúc này định lý sẽ phát huy tác dụng.
Đặt $f(a,b)=\sqrt{\dfrac{2a^2+5}{2(b^4+b+1)}}+\sqrt{ \dfrac{a^3}{b+5}}+a^4-\dfrac{3}{2}$
Tính toán trực tiếp trên máy tính cầm tay, ta có: $f(0.5, 0.55)>0, \;\;\; f(0.55, 0.65)>0,\;\;\; f(0.65,0.8)>0,\;\;\; f(0.8, 1.2)>0$
Theo định lý ta có điều phải chứng minh.
Định lý này khá hữu ích, tuy nhiên còn hạn chế ở bất đẳng thức thực sự, đối với các bất đẳng thức chặc chẽ, ta nhất thiết phải cách ly dấu đẳng thức. Định lý này còn mở rộng cho bài toán $n$ biến với việc chia theo từng biến. Đến đây em xin hết.
Bài toán thách thức. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$$
Định lý. Cho $f(x,y)$ là hàm liên tục theo hai biến $x,y$, đi từ $[a,b]$ vào $\mathbb{R}$, $f$ giảm theo $x$ và tăng theo $y$. Khi đó nếu tồn tại dãy hữu hạn tăng $a=x_0\le x_1\le ...\le x_{m+1}=b$ sao cho $f(x_{n}, x_{n+1})>0$ với mọi $n=1,2,3,...,m$ thì $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$.
Chứng minh.
Với mọi $x\in [a,b]$, tồn tại $n$ sao cho $x\in [x_{n}, x_{n+1}]$. Theo giả thiết hàm $f$ ta có: $f(x,x)\ge f(x_{n}, x)\ge f(x_{n}, x_{n+1})>0$. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Đặc biệt hơn, điều ngược lại vẫn đúng, nghĩa là $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$ thì tồn tại dãy hữu hạn tăng $a=x_0\le x_1\le ...\le x_{m+1}=b$ sao cho $f(x_{n}, x_{n+1})>0$ với mọi $n=1,2,3,...,m$. Điều này giúp ta tin tưởng vào định lý hơn là có thể chia được các khoảng nhỏ để áp dụng định lý. Ta còn có thể hiểu định lý một cách cụ thể hơn đó là nếu $f(a,b)>0$ thì $f(x,x)>0$ với mọi $x\in [a,b]$
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: $\sqrt{\dfrac{2x^2+5}{2(x^4+x+1)}}+\sqrt{\dfrac{x^3}{x+5}}+x^4-\dfrac{3}{2}>0$ với mọi $x\ge \dfrac{1}{2}$
Nếu $x\ge \dfrac{6}{5}$ thì ta có $x^4>\dfrac{3}{2}$ nên ta có điều phải chứng minh.
Nếu $x\in \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{6}{5}\right]$, lúc này định lý sẽ phát huy tác dụng.
Đặt $f(a,b)=\sqrt{\dfrac{2a^2+5}{2(b^4+b+1)}}+\sqrt{ \dfrac{a^3}{b+5}}+a^4-\dfrac{3}{2}$
Tính toán trực tiếp trên máy tính cầm tay, ta có: $f(0.5, 0.55)>0, \;\;\; f(0.55, 0.65)>0,\;\;\; f(0.65,0.8)>0,\;\;\; f(0.8, 1.2)>0$
Theo định lý ta có điều phải chứng minh.
Định lý này khá hữu ích, tuy nhiên còn hạn chế ở bất đẳng thức thực sự, đối với các bất đẳng thức chặc chẽ, ta nhất thiết phải cách ly dấu đẳng thức. Định lý này còn mở rộng cho bài toán $n$ biến với việc chia theo từng biến. Đến đây em xin hết.
Bài toán thách thức. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$$