[TOÁN 12] Thảo luận về các kĩ năng, phương pháp giải toán !

[nguyenminh44]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn !

Sau một thời gian tham gia diễn đàn, đặc biệt là hoạt động trong box Toán, mình nhận thấy ngoài việc tham gia post và giải bài tập, các bạn học sinh cũng có nhu cầu rất lớn trong việc trao đổi lý thuyết. Thế nhưng thực tế các topic về vấn đề này lại rất ít được quan tâm.

Vì vậy mình lập ra topic này với mong muốn các bạn vào đây chia sẻ những kĩ năng, phương pháp, hay có thể là các mẹo nhỏ trong giải toán, bàn về các sai lầm thường gặp của chúng ta, hoặc đơn giản hơn nữa : bạn có thắc mắc nào về lý thuyết, hãy nêu ở đây, mọi người sẽ cùng bàn luận ... Hi vọng các bạn nhiệt tình ủng hộ

@ : Vui lòng không hỏi bài tập ở đây !

---------------

Tớ sẽ mở đầu bằng vấn đề nho nhỏ trong khảo sát hàm số nhé !

Ví dụ : Xét tính biến thiên của hàm số [TEX]y=\frac{x+2}{x-1}[/TEX]

Một bạn học sinh cho lời giải như sau :

TXĐ: [TEX]x \neq 1[/TEX]

[TEX]y'=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2} <0 \ \forall x \in TXD [/TEX]

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên tâp xác định !

Theo bạn, lời giải trên đã ổn chưa ? Nếu chưa ổn hãy chỉnh sửa lại nhé

 

[ctsp_a1k40sp]

Lời giải chưa ổn vì tập xác định ở đây là hợp của 2 tập nhỏ
[TEX]S_1=(-oo,1)[/TEX]
[TEX]S_2=(1,+oo)[/TEX]
[TEX]S=S_1 \bigcap S_2[/TEX]

[TEX]y' <0[/TEX] chỉ cho chúng ta kết quả hàm số nghịch biến trên [TEX]S_1[/TEX] và nghịch biến trên [TEX]S_2[/TEX] chứ chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên [TEX]S[/TEX]

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên tâp xác định !

Hiển nhiên sai ở đây

 

[test.hocmai]

Chào các bạn !


---------------

Tớ sẽ mở đầu bằng vấn đề nho nhỏ trong khảo sát hàm số nhé !

Ví dụ : Xét tính biến thiên của hàm số [TEX]y=\frac{x+2}{x-1}[/TEX]

Một bạn học sinh cho lời giải như sau :


Theo bạn, lời giải trên đã ổn chưa ? Nếu chưa ổn hãy chỉnh sửa lại nhé

Kết luận : nghịch biến trên từng khoảng xác định mới chính xác được .

 

[nguyenminh44]

Đúng rồi, như 2 bạn đã nói : lời giải trên có vấn đề ở câu kết luận

Xin nhắc lại khái niệm hàm nghịch biến :

Một hàm f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng xác định D khi và chỉ khi

[TEX]f(x_1) > f(x_2) \ \forall x_1 ; x_2 \in D \ \tex{va} \ x_1 <x _2[/TEX]

Với bài toán này: rõ ràng khi cho [TEX]x_1 \in (-\infty ; 1)[/TEX] và [TEX]x_2 \in (1;+\infty )[/TEX] thì [TEX]x_1 <x_2 \ && \ f(x_1) <f(x_2)[/TEX]

Như vậy kết luận rằng hàm nghịch biến trên tập xác định là sai !

Rất nhiều bạn đã ngộ nhận điều này. Hãy chú ý nhé !

 

[nguyenminh44]

Không ai đưa ra ý kiến , vậy tớ sẽ tiếp tục một chủ điểm nho nhỏ khác nhé !

Ứng dụng của phép chia đa thức :

1. Có lẽ hầu hết các bạn đã không còn xa lạ với bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm bậc 3. Vẫn xin nhắc lại :

hàm [TEX]y=ax^3+bx^2+cx+d[/TEX] có đạo hàm [TEX]y'=3ax^2+2bx+c[/TEX]

[TEX]h(x)=a'x+b'[/TEX] là phần dư trong phép chia [TEX]y[/TEX] cho [TEX]y'[/TEX].

Khi đó đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm này có phương trình là [TEX]y=h(x)=a'x+b'[/TEX]

Việc chứng minh cũng vô cùng đơn giản, xin không nêu ra.

Vấn đề đặt ra ở đây là : Với hàm bậc 4 thì sẽ ra sao ???

Các bạn giúp mình trả lời 2 câu hỏi sau nhé !

- Chứng minh rằng nếu 1 hàm bậc 4 trùng phương có 3 điểm cực trị thì 3 điểm này không thể thẳng hàng !

- Hãy cho 1 ví dụ về hàm bậc 4 (đầy đủ) có 3 điểm cực trị thẳng hàng !

-------

Phần ứng dụng của phép chia đa thức vẫn còn !

 

[mcdat]

Lời giải chưa ổn vì tập xác định ở đây là hợp của 2 tập nhỏ
[TEX]S_1=(-oo,1)[/TEX]
[TEX]S_2=(1,+oo)[/TEX]
[TEX]S=S_1 \bigcap S_2[/TEX]

[TEX]y' <0[/TEX] chỉ cho chúng ta kết quả hàm số nghịch biến trên [TEX]S_1[/TEX] và nghịch biến trên [TEX]S_2[/TEX] chứ chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên [TEX]S[/TEX]

Anh Minh xem em phản chứng tỵ nhá

Nhận thấy [TEX]S_1[/TEX] đúng ; [TEX]S_2[/TEX] đúng

Thành thử giao của chúng cũng đúng {T/C cơ bản}

Vậy [TEX]S[/TEX] cngx phải đúng. Vậy bài toán đã cho kết luận hàn toàn đúng &gt;-

 

[nguyenminh44]

Anh Minh xem em phản chứng tỵ nhá

Nhận thấy [TEX]S_1[/TEX] đúng ; [TEX]S_2[/TEX] đúng

Thành thử giao của chúng cũng đúng {T/C cơ bản}

Vậy [TEX]S[/TEX] cngx phải đúng. Vậy bài toán đã cho kết luận hàn toàn đúng &gt;-

Thứ nhất là cái chỗ [TEX]S_1 \bigcap S_2[/TEX] ctsp_a1k40sp viết sai ! Phải là [TEX]S_1\bigcup_{}^{} S_2[/TEX] mới đúng. Không để ý kĩ nhá )

Thứ 2 : Không ai nói rằng [TEX]S_1[/TEX] đúng, [TEX]S_2[/TEX] đúng
Chỉ có : Kết luận đúng trên [TEX]S_1[/TEX], kết luận đúng trên [TEX]S_2[/TEX]

Thế nhưng, từ đó không thể suy ra kết luận đúng trên [TEX]S_1 \bigcup_{}^{} S_2[/TEX] ( vì không có "T/C cơ bản " này )

Anh "bảo vệ" thế đã được chưa ?

----

@ đừng có sơn màu bài viết, có luật rồi đấy

 

[mcdat]

Thứ nhất là cái chỗ [TEX]S_1 \bigcap S_2[/TEX] ctsp_a1k40sp viết sai ! Phải là [TEX]S_1\bigcup_{}^{} S_2[/TEX] mới đúng. Không để ý kĩ nhá )

Thứ 2 : Không ai nói rằng [TEX]S_1[/TEX] đúng, [TEX]S_2[/TEX] đúng
Chỉ có : Kết luận đúng trên [TEX]S_1[/TEX], kết luận đúng trên [TEX]S_2[/TEX]

Thế nhưng, từ đó không thể suy ra kết luận đúng trên [TEX]S_1 \bigcup_{}^{} S_2[/TEX] ( vì không có "T/C cơ bản " này )

Anh "bảo vệ" thế đã được chưa ?

----

@ đừng có sơn màu bài viết, có luật rồi đấy

OK

Không ai đưa ra ý kiến , vậy tớ sẽ tiếp tục một chủ điểm nho nhỏ khác nhé !

Ứng dụng của phép chia đa thức :

1. Có lẽ hầu hết các bạn đã không còn xa lạ với bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm bậc 3. Vẫn xin nhắc lại :



Việc chứng minh cũng vô cùng đơn giản, xin không nêu ra.

Vấn đề đặt ra ở đây là : Với hàm bậc 4 thì sẽ ra sao ???

Các bạn giúp mình trả lời 2 câu hỏi sau nhé !

- Chứng minh rằng nếu 1 hàm bậc 4 trùng phương có 3 điểm cực trị thì 3 điểm này không thể thẳng hàng !

- Hãy cho 1 ví dụ về hàm bậc 4 (đầy đủ) có 3 điểm cực trị thẳng hàng !

-------

Phần ứng dụng của phép chia đa thức vẫn còn !

Phần CM ko thẳng hàng chỉ cần sd đk a < 0 vì nếu thẳng hàng thì a = 0

Còn đây là đa thức em tìm đc

[TEX]y = x^4 + 4x^3+6x^2 + cx + d[/TEX]

Với [TEX]\left{c \not= \ 4 \\ c - 4d \not= 0 [/tex]

 

[nguyenminh44]

OK



Phần CM ko thẳng hàng chỉ cần sd đk a < 0 vì nếu thẳng hàng thì a = 0

Còn đây là đa thức em tìm đc

[TEX]y = x^4 + 4x^3+6x^2 + cx + d[/TEX]

Với [TEX]\left{c \not= \ 4 \\ c - 4d \not= 0 [/tex]

1. Có thể nhận thấy với hàm trùng phương [TEX]y=x^4+ax^2+b \ \ (a \neq 0 )[/TEX] ; đạo hàm [TEX]y'=4x^3+2ax[/TEX] thì phần dư trong phép chia [TEX]y[/TEX] cho [TEX]y'[/TEX] luôn luôn là một tam thức bậc 2 ( dùng phép chia trực tiếp để kiểm tra ).
Vì vậy, 3 điểm cực trị của hàm này nằm trên cùng một Parabol. Mặt khác, trên một Parabol không có 3 điểm phân biệt nào thẳng hàng ( vì một đường thẳng và một Parabol chỉ cắt nhau tại không quá 2 điểm ). Vậy ta có điều phải chứng minh !

2. Tại sao lại cần phải [TEX]\left { c \neq 4 \\ c-4d \neq 0[/TEX] nhỉ ? 1 trong 2 chúng =0 có được không ?

Anh cũng xin nói luôn đáp án : Không có hàm bậc 4 nào thoả mãn yêu cầu này
Em thử cho c, d một giá trị và thử lại xem sao ?

 

[mcdat]

1. Có thể nhận thấy với hàm trùng phương [TEX]y=x^4+ax^2+b \ \ (a \neq 0 )[/TEX] ; đạo hàm [TEX]y'=4x^3+2ax[/TEX] thì phần dư trong phép chia [TEX]y[/TEX] cho [TEX]y'[/TEX] luôn luôn là một tam thức bậc 2 ( dùng phép chia trực tiếp để kiểm tra ).
Vì vậy, 3 điểm cực trị của hàm này nằm trên cùng một Parabol. Mặt khác, trên một Parabol không có 3 điểm phân biệt nào thẳng hàng ( vì một đường thẳng và một Parabol chỉ cắt nhau tại không quá 2 điểm ). Vậy ta có điều phải chứng minh !

2. Tại sao lại cần phải [TEX]\left { c \neq 4 \\ c-4d \neq 0[/TEX] nhỉ ? 1 trong 2 chúng =0 có được không ?

Anh cũng xin nói luôn đáp án : Không có hàm bậc 4 nào thoả mãn yêu cầu này
Em thử cho c, d một giá trị và thử lại xem sao ?

Hiz . Vội quá. Đó chỉ là đk cần . Còn phải xét thêm cái [TEX]y"[/TEX] nữa

Cái hàm đó có [TEX]y" \geq 0 \ \forall x[/TEX] nên y' = 0 ko thẻ có 3 nghiệm pb

Anh cũng xin nói luôn đáp án : Không có hàm bậc 4 nào thoả mãn yêu cầu này

Anh CM giúp em vs vì em thấy CM nó có vẻ rất Buffalo VN | . Thank

 

[nguyenminh44]

Hiz . Vội quá. Đó chỉ là đk cần . Còn phải xét thêm cái [TEX]y"[/TEX] nữa

Cái hàm đó có [TEX]y" \geq 0 \ \forall x[/TEX] nên y' = 0 ko thẻ có 3 nghiệm pb



Anh CM giúp em vs vì em thấy CM nó có vẻ rất Buffalo VN | . Thank

:-j Làm gì đến độ phải gọi là trâu bò. Em đã nói cái hướng làm ở trên rồi đấy thôi

Hàm [TEX]y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d[/TEX]

Muốn 3 điểm cực trị (nếu có ) thẳng hàng thì điều kiện cần là phần dư trong phép chia y cho y' phải là hàm bậc nhất hoặc hàm hằng .

Tìm y' và thực hiện phép chia... Điều kiện nêu trên xảy ra khi [TEX]3a^2=8b[/TEX] ( việc thực hiện phép chia cũng không quá trâu bò đâu )

Tuy nhiên, nếu như vậy thì [TEX]y'=4x^3+3ax^2+2bx+c \ ; \ y"= 12x^2+6ax+2b[/TEX]

Có [TEX]\Delta ' =9a^2-24b=0 \Rightarrow [/TEX] [TEX]y"\geq 0[/TEX]. Vậy y' có đúng 1 nghiệm !

Kết luận : Không có hàm nào thoả mãn !

 

[nguyenminh44]

(Tiếp )

Chắc chắn bạn còn nhớ công thức tính đạo hàm của một phân thức đúng không? Có thể bạn cho rằng những câu sau đây là "muỗi", phẩy tay là bay. Nhưng hãy cứ động tay xem sao nhé

1. Cho [TEX]y_1=\frac{3x^2+2x-1}{x+3}[/TEX]. Tính [TEX]y_1' \ ; \ y_1"[/TEX]

2. Cho [TEX]y_2 =\frac{2x^3-3x^2+x-2}{2x^2+3x-2}[/TEX]. Tính [TEX]y_2' \ ; \ y_2^{(4)}[/TEX] ?

Nhớ ghi trình tự làm trong bài reply nhé, đừng viết mỗi kết quả
--------

(Phần sau : làm thế nào với những bài toán tam thức bậc 2 )

 

[mcdat]

(Tiếp )

Chắc chắn bạn còn nhớ công thức tính đạo hàm của một phân thức đúng không? Có thể bạn cho rằng những câu sau đây là "muỗi", phẩy tay là bay. Nhưng hãy cứ động tay xem sao nhé

1. Cho [TEX]y_1=\frac{3x^2+2x-1}{x+3}[/TEX]. Tính [TEX]y_1' \ ; \ y_1"[/TEX]

2. Cho [TEX]y_2 =\frac{2x^3-3x^2+x-2}{2x^2+3x-2}[/TEX]. Tính [TEX]y_2' \ ; \ y_2^{(4)}[/TEX] ?

Nhớ ghi trình tự làm trong bài reply nhé, đừng viết mỗi kết quả
--------

(Phần sau : làm thế nào với những bài toán tam thức bậc 2 )

Tính mấy cái này trâu wa. Anh có cách j trình bày đi

 

[thaison901]

(Tiếp )

Chắc chắn bạn còn nhớ công thức tính đạo hàm của một phân thức đúng không? Có thể bạn cho rằng những câu sau đây là "muỗi", phẩy tay là bay. Nhưng hãy cứ động tay xem sao nhé

1. Cho [TEX]y_1=\frac{3x^2+2x-1}{x+3}[/TEX]. Tính [TEX]y_1' \ ; \ y_1"[/TEX]

2. Cho [TEX]y_2 =\frac{2x^3-3x^2+x-2}{2x^2+3x-2}[/TEX]. Tính [TEX]y_2' \ ; \ y_2^{(4)}[/TEX] ?

Nhớ ghi trình tự làm trong bài reply nhé, đừng viết mỗi kết quả
--------

(Phần sau : làm thế nào với những bài toán tam thức bậc 2 )

1 [tex] y_1 =\frac{3x^2+2x-1}{x+3} \Leftrightarrow y_1=3x -7 + \frac{20}{x+3} [/tex]
\Rightarrow [tex] y'_1 = 3 - \frac{20}{(x+3)^2} [/tex]
\Rightarrow [tex] y"_1 = \frac{40}{(x+3)^3} [/tex]

 

[nguyenminh44]

1. Cho [TEX]y_1=\frac{3x^2+2x-1}{x+3}[/TEX]. Tính [TEX]y_1' \ ; \ y_1"[/TEX]

Nhớ ghi trình tự làm trong bài reply nhé, đừng viết mỗi kết quả

1 [tex] y_1 =\frac{3x^2+2x-1}{x+3} \Leftrightarrow y_1=3x -7 + \frac{20}{x+3} [/tex]
\Rightarrow [tex] y'_1 = 3 - \frac{20}{x+3} [/tex]
\Rightarrow [tex] y"_1 = \frac{40}{(x+3)^3} [/tex]

Gần đúng rồi Bạn sửa lại cho thật chính xác nhé !

2. Cho [TEX]y_2 =\frac{2x^3-3x^2+x-2}{2x^2+3x-2}[/TEX]. Tính [TEX]y_2' \ ; \ y_2^{(4)}[/TEX] ?

[TEX]y_2=x-3+\frac{12x-8}{(2x-1)(x+2)} =x-3-\frac 4 {5(2x-1)}+\frac{32}{5(x+2)}[/TEX] (8-} đề chế không giấy nháp nên số hơi xấu )

Bây giờ thì dễ rồi
-----

Việc chia đa thức này có thể gọi là một bước "chia để trị" , tức là chia một biểu thức cồng kềnh thành các biểu thức đơn giản hơn ! Các bạn chú ý sử dụng khi cần thiết nhé

 

[nguyenminh44]

Tiếp !

Định lí về dấu của tam thức bậc 2 là một phần khá hay, nhưng trong chương trình cải cách, nó đã bị giảm tải. Các bạn chú ý không được sử dụng nó trong bài thi nhé.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào với những bài toán cũ đây ???
Một số bạn đã biết cách cô lập biến rồi xét hàm. Đó là một cách khá hay và "hợp pháp". Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng có thể dễ dàng sử dụng cách đó.

Các bạn xem bài toán và lời giải sau, xem có chỗ nào chưa ổn nhé :

Tìm m để hàm [tex]y=\frac{-x^3}{3}+(m-1)x^2+(m+3)x[/tex] tăng trên [TEX][-2;1][/TEX]

Lời giải :

[TEX]y'= -x^2+2(m-1)x +(m+3) \geq0 \forall x [/TEX]thuộc [-2;1]

[TEX]\Leftrightarrow m(2x+1)\geq x^2+2x-3 \forall x[/TEX]thuộc [-2;1]

[TEX]\Leftrightarrow g(x)=\frac{2x^2+2x+8}{2x+1}\leq m \forall x[/TEX]thuộc [-2;1]

[TEX]\Leftrightarrow Max \ g(x) \leq m [/tex]

.....

 

[mcdat]

Tiếp !

Định lí về dấu của tam thức bậc 2 là một phần khá hay, nhưng trong chương trình cải cách, nó đã bị giảm tải. Các bạn chú ý không được sử dụng nó trong bài thi nhé.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào với những bài toán cũ đây ???
Một số bạn đã biết cách cô lập biến rồi xét hàm. Đó là một cách khá hay và "hợp pháp". Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng có thể dễ dàng sử dụng cách đó.

Các bạn xem bài toán và lời giải sau, xem có chỗ nào chưa ổn nhé :



Lời giải :

Hiển nhiên ko thể dùng pp hs trong TH này vì [TEX]2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2} \in [-2;1] [/TEX]

Và nếu có dùng pp đó thì phải xét 3 TH >> lâu |

Do vậy cứ truyền thống mà làm

[TEX]y ' = -x^2+2(m-1)x + m+ 3 \geq 0 \ \forall \ x \ \in \ [-2;1] [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y' \geq 0 \ \forall \ x \ \bigcup_{}^{} \ y' = 0 [/TEX] có 2 nghiệm [TEX] \ x_1 \leq -2 \ < \ 1 \ \leq x_2 [/TEX]

TH1 thì [TEX]\Delta \leq 0 \ & \ a > 0 \ (Loai)[/TEX]

TH2 thì đặt [TEX] \ u=x+2 \ \& \ v=x-1[/TEX]

Từ đó tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu nhau (P < 0)

 

[nguyenminh44]

Hiển nhiên ko thể dùng pp hs trong TH này vì [TEX]2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2} \in [-2;1] [/TEX]

Và nếu có dùng pp đó thì phải xét 3 TH >> lâu |

OK, chúng ta không thể chia cho một số =0, và hơn nữa, bất phương trình còn đổi chiều khi qua [TEX]x=\frac {-1} 2[/TEX] .

Do vậy cứ truyền thống mà làm

[TEX]y ' = -x^2+2(m-1)x + m+ 3 \geq 0 \ \forall \ x \ \in \ [-2;1] [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y' \geq 0 \ \forall \ x \ \bigcup_{}^{} \ y' = 0 [/TEX] có 2 nghiệm [TEX] \ x_1 \leq -2 \ < \ 1 \ \leq x_2 [/TEX]

TH1 thì [TEX]\Delta \leq 0 \ & \ a > 0 \ (Loai)[/TEX]

TH2 thì đặt [TEX] \ u=x+2 \ \& \ v=x-1[/TEX]

Từ đó tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu nhau (P < 0)

Cách truyền thống này sử dụng định lý Viet và định lý về dấu của tam thức bậc 2, là một vấn đề "nhạy cảm". Vì vậy. nếu tránh được thì tốt nhất nên tránh

Chúng ta hoàn toàn có thể đi theo lối khác.

[TEX]y'= -x^2+2(m-1)x + m+ 3 \geq 0 \ \forall \ x \ \in \ [-2;1] \ \ \ (*)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \min_{[-2;1]} y' \geq 0[/TEX]

[TEX]TH1 \ \ m-1 \in [-\infty ; -\frac 1 2] \ \ \ (*) \Leftrightarrow y'(1) \geq 0[/TEX]

[TEX]TH2 \ \ m-1 \in [- \frac 1 2 ; + \infty ) \ \ \ (*) \Leftrightarrow y'(-2) \geq 0[/TEX]

...

 

[mcdat]

OK, chúng ta không thể chia cho một số =0, và hơn nữa, bất phương trình còn đổi chiều khi qua [TEX]x=\frac {-1} 2[/TEX] .


Cách truyền thống này sử dụng định lý Viet và định lý về dấu của tam thức bậc 2, là một vấn đề "nhạy cảm". Vì vậy. nếu tránh được thì tốt nhất nên tránh

Chúng ta hoàn toàn có thể đi theo lối khác.

[TEX]y'= -x^2+2(m-1)x + m+ 3 \geq 0 \ \forall \ x \ \in \ [-2;1] \ \ \ (*)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \min_{[-2;1]} y' \geq 0[/TEX]

[TEX]TH1 \ \ m-1 \in [-\infty ; -\frac 1 2] \ \ \ (*) \Leftrightarrow y'(1) \geq 0[/TEX]

[TEX]TH2 \ \ m-1 \in [- \frac 1 2 ; + \infty ) \ \ \ (*) \Leftrightarrow y'(-2) \geq 0[/TEX]

...

Cách này thật là hàng khủng ......................................................................

 

[vodichhocmai]

có bài này trong đề thi thử mà em ko làm nổi

[TEX]a, \ b, \ c \ \in \ [\frac{1}{2} \ ; \ 2] \\ CM: \\ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \ \frac{225}{16}[/TEX]

Anh làm ra thì gửi tin nhắn cho em vs nhá. thank

Ta đi từ bổ đề sau:
Nếu [TEX]a_1,a_2,....,a_k\in [m;n]m>0[/TEX] Thì [TEX]k^2\le A=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\le \frac{k^2(m+n)^2}{4mn}[/TEX]

[TEX](*)[/TEX]Thật vậy theo [TEX]AM-GM[/TEX] cho [TEX]k[/TEX] số dương ta được .
[TEX]\sum_{i=1}^k a_i\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}[/TEX]
[TEX]\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}[/TEX]
Nhân vế theo vế ta được
[TEX]\righ A\ge k^2(1)[/TEX].
[TEX](*)[/TEX] Xét hàn số :
[TEX]f(x)=x^2-(m+n)x+mn\le 0\foral x\in[m;n][/TEX] [TEX]\righ x+\frac{mn}{x}\le (m+n)[/TEX]
[TEX]\left{a_1+\frac{mn}{a_1}\le (m+n)\\......................\\ a_k+ \frac{mn}{a_k} \le (m+n)[/TEX]
Cộng vế theo vế ta được và áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta được . .
[TEX]\righ k(m+n)\ge \sum_{i=1}^k a_i+\sum_{i=1}^k mn\frac{1}{a_i}\ge 2\sqrt[2]{mn.A}[/TEX]
[TEX]\righ A\le\frac{k^2(m+n)^2}{4mn}(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)[/TEX] Ta được bổ đề chứng minh xong .

Chú ý bất đẳng thức cho quá yếu . anh có thể làm kết quả mạnh hơn :

Dấu bằng không xảy ra :

Dành cho thi Đại học là được.