Nói là thách đấu để mọi người chú ý chứ ko hề có thâm ý gì,mong các bạn thông cảm nhé
Cho [TEX]x,y>0[/TEX] thoả mãn
[TEX]x^2+y^2=xy+1[/TEX]
Tìm min của
[TEX]A=\frac{x}{\sqrt{2(y+1)-x(x+1)}}+\frac{y}{\sqrt{2(x+1)-y(y+1)}}[/TEX]
( các mod toán vào thử sức nhé
kachia,giangln,potter,thancuc,......)
Bài này chưa đủ khó để mang ra thách đấu ...
Solution:
Ta có
[TEX]\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2+y^2+x+y}{xy+1+x+y}=1[/TEX]
đặt [TEX]\frac{x}{y+1}=a,\frac{y}{x+1}=b[/TEX]
được [TEX]a,b>0[/TEX] và
[TEX]a+b=1[/TEX]
Mặt khác
[TEX]2(y+1)-x(x+1)=(y+1)^2+(1-x^2-y^2)-x=(y+1)^2-xy-x=(y+1-x)(y+1)=\frac{y+1-x}{y+1}.(y+1)^2=(1-a)(y+1)^2[/TEX]
tương tự
[TEX]2(x+1)-y(y+1)=(1-b)(1+x)^2[/TEX]
nên
[TEX]A=\frac{x}{\sqrt{2(y+1)-x(x+1)}}+\frac{y}{\sqrt{2(x+1)-y(y+1)}}[/TEX]
[TEX]=\frac{x}{(y+1)\sqrt{1-a}}+\frac{y}{(x+1)\sqrt{1-b}}[/TEX]
[TEX]=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}[/TEX]
[TEX]=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{b}}[/TEX]
suy ra
[TEX]A^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^3+b^3}{ab}+2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{ab}+2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{ab}-3+2\sqrt{ab}[/TEX]
ta cần chứng minh
[TEX]A^2 \geq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+2\sqrt{ab} \geq 5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{3}{4ab}+\frac{1}{4ab}+2\sqrt{ab} \geq 5(*)[/TEX]
thật vậy
do [TEX]a+b=1[/TEX] suy ra
[TEX]ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}[/TEX]
nên ta được hai bất đẳng thức
[TEX]+)\frac{3}{4ab}\geq 3[/TEX]
[TEX]+)\frac{1}{4ab}+2\sqrt{ab} \geq 2\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{ab}}} \geq 2[/TEX]
cộng chúng lại ta có
[TEX]\frac{3}{4ab}+\frac{1}{4ab}+2\sqrt{ab} \geq 5[/TEX]
tức là [TEX](*)[/TEX] đã được chứng minh
Ta có bất đẳng thức đúng
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn