[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( bc+ac+ab \right )*\left ( a+b+c \right )=a*b*c[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( bc+ac+ab \right )*\left ( a+b+c \right )-\left ( a*b*c \right )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( ab+bc+ac \right )*\left ( a+b \right )*\left ( bcc+acc+abc-abc \right )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( ab+bc+ca \right )*\left ( a+b \right )+c^{2}*\left ( a+b \right )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( a+b \right )*\left ( ab+bc+ca+c^{2} \right )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left ( a+b \right )*\left ( a+c \right )*\left ( b+c \right )=0[/tex]