Toán 9 Tính GTNN của biểu thức [tex]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}[/tex]

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi AlexisBorjanov, 1 Tháng tám 2021.

Lượt xem: 75

  1. AlexisBorjanov

    AlexisBorjanov Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    647
    Điểm thành tích:
    121
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Earth
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn [tex](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(a+b-c)=4[/tex]. Tính GTNN của biểu thức [tex]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}[/tex]
    Em xin cảm ơn!
     
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,593
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Giả thiết tương đương với: [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{c}{a}-\frac{a}{c}=1[/tex]
    Đặt [tex](x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}-z-\frac{1}{z}=1\\ xyz=1 \end{matrix}\right.[/tex]
    Ta có: [tex]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2x+y^2+z^2\geq 2x+2yz=2x+\frac{2}{x}[/tex]
    Lại có: [tex]x+\frac{1}{x}=1+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}\Rightarrow yz+\frac{1}{yz}=1+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}[/tex]
    Đặt [TEX]s=y+z,p=xy[/TEX][tex]\Rightarrow p+\frac{1}{p}=1+s+\frac{s}{p}\Rightarrow s=\frac{p^2-p+1}{p+1}[/tex]
    Mà [TEX]s \geq 2\sqrt{p} \Rightarrow \frac{p^2-p+1}{p+1}\geq 2\sqrt{p} \Rightarrow \frac{(p-3\sqrt{p}+1)(p+\sqrt{p}+1)}{p+1} \geq 0 \Rightarrow p-3\sqrt{p}+1 \geq 0 \Rightarrow \sqrt{p} \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} [/TEX] hoặc [TEX]\sqrt{p} \leq \frac{3-\sqrt{5}}{2}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x=yz=p \geq \frac{7+3\sqrt{5}}{2}[/TEX] hoặc [TEX]x \leq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}[/TEX]
    Ta chứng minh được [TEX]f(t)=t+\frac{1}{t}[/TEX] đồng biến trên [TEX](1,+\infty)[/TEX] và [TEX](-\infty,1)[/TEX].
    Từ đó [TEX]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2f(x) \geq 2f(\frac{7+3\sqrt{5}}{2})[/TEX] và [TEX]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2f(x) \geq 2f(\frac{7-3\sqrt{5}}{2})[/TEX]
    So sánh 2 giá trị trên ta tìm được giá trị nhỏ nhất biểu thức.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY