Giả thiết tương đương với: [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{c}{a}-\frac{a}{c}=1[/tex]
Đặt [tex](x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}-z-\frac{1}{z}=1\\ xyz=1 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có: [tex]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2x+y^2+z^2\geq 2x+2yz=2x+\frac{2}{x}[/tex]
Lại có: [tex]x+\frac{1}{x}=1+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}\Rightarrow yz+\frac{1}{yz}=1+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}[/tex]
Đặt [TEX]s=y+z,p=xy[/TEX][tex]\Rightarrow p+\frac{1}{p}=1+s+\frac{s}{p}\Rightarrow s=\frac{p^2-p+1}{p+1}[/tex]
Mà [TEX]s \geq 2\sqrt{p} \Rightarrow \frac{p^2-p+1}{p+1}\geq 2\sqrt{p} \Rightarrow \frac{(p-3\sqrt{p}+1)(p+\sqrt{p}+1)}{p+1} \geq 0 \Rightarrow p-3\sqrt{p}+1 \geq 0 \Rightarrow \sqrt{p} \geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} [/TEX] hoặc [TEX]\sqrt{p} \leq \frac{3-\sqrt{5}}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=yz=p \geq \frac{7+3\sqrt{5}}{2}[/TEX] hoặc [TEX]x \leq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}[/TEX]
Ta chứng minh được [TEX]f(t)=t+\frac{1}{t}[/TEX] đồng biến trên [TEX](1,+\infty)[/TEX] và [TEX](-\infty,1)[/TEX].
Từ đó [TEX]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2f(x) \geq 2f(\frac{7+3\sqrt{5}}{2})[/TEX] và [TEX]\frac{2a}{b}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=2f(x) \geq 2f(\frac{7-3\sqrt{5}}{2})[/TEX]
So sánh 2 giá trị trên ta tìm được giá trị nhỏ nhất biểu thức.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
