Toán 11 Tính giá trị của biểu thức

[TTree]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết rằng phương trình [tex]sin^{6}x + cos^{6}x = m + sin^{4}x - cos^{4}x có nghiệm khi và chỉ khi a\leq m\leq b (a,b\in \mathbb{R}), trong đó m là tham số. Hãy tính giá trị của biểu thức P = 24a +3b^{2} - 60a\sqrt{b}[/tex]

Đáp án: P=10 + [tex]5\sqrt{2}[/tex] .Nhờ mọi người giải hộ em với ạ

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]sin^{6}x + cos^{6}x = m + sin^{4}x - cos^{4}x\\\Leftrightarrow sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x= m + sin^{4}x - cos^{4}x\\\Leftrightarrow m=2cos^4x-sin^2xcos^2x\\\Leftrightarrow m=2cos^4x-(1-cos^2x)cos^2x\\\Leftrightarrow m=3cos^4x-cos^2x[/tex]
Đặt $cos^2x=t \in [0;1]$
KS hàm $f(t)=3t^2-t$ trên $[0;1]$ có BBT:
$
\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & & \frac{1}{6} & & 1 \\
\hline
y & 0 & & & & 2 \\
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & \frac{-1}{12} & &
\end{array}
$
Để PT có nghiệm [tex]\frac{-1}{12}\leq m\leq 2[/tex] Vậy $a=\frac{-1}{12}; b=2$
Thay vào P : [tex]P = 24a +3b^{2} - 60a\sqrt{b}=24.\frac{-1}{12}+3.4-60.\frac{-1}{12}\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}[/tex]